Mesma Forma, Mesmo ou Diferente Tamanho: Congruência e Semelhança
Figuras congruentes são idênticas em forma e tamanho — uma pode ser colocada exatamente sobre a outra por meio de transformações rígidas. Figuras semelhantes têm a mesma forma, mas podem diferir em tamanho, com todos os ângulos correspondentes iguais e os lados correspondentes em proporção. Esses conceitos sustentam demonstrações, desenhos em escala e aplicações no mundo real, como a leitura de mapas e a construção de modelos.
Componentes da Congruência e Semelhança
Esta seção aborda os princípios-chave:
- Critérios de Congruência: Triângulos são congruentes se satisfazem os critérios LLL (lado-lado-lado), LAL (lado-ângulo-lado), ALA (ângulo-lado-ângulo) ou AAL (ângulo-ângulo-lado).
- Critérios de Semelhança: Triângulos são semelhantes se satisfazem os critérios AA (ângulo-ângulo), semelhança LLL (todos os lados proporcionais) ou semelhança LAL (dois lados proporcionais com o ângulo incluído igual).
- Partes Correspondentes: Em figuras congruentes ou semelhantes, os lados e ângulos correspondentes são chamados de partes correspondentes. Em figuras congruentes, as partes correspondentes são iguais (CPCTC).
- Fator de Escala: A razão entre os comprimentos dos lados correspondentes em figuras semelhantes. Se o fator de escala é k, então as áreas são proporcionais a k² e os volumes são proporcionais a k³.
Exemplos de Congruência e Semelhança
Exemplos de Critérios de Congruência
- Dois triângulos têm lados de 5, 7, 9 cm e 5, 7, 9 cm. Pelo critério LLL, são congruentes.
- O triângulo A tem lados de 6, 8 com um ângulo incluído de 50°. O triângulo B é igual. Pelo critério LAL, são congruentes.
- O triângulo P tem ângulos de 40° e 60° com o lado entre eles medindo 10 cm. O triângulo Q é igual. Pelo critério ALA, são congruentes.
Exemplos de Critérios de Semelhança
- O triângulo X tem ângulos de 30° e 70°. O triângulo Y tem ângulos de 30° e 70°. Pelo critério AA, são semelhantes (o terceiro ângulo deve ser 80° em ambos).
- O triângulo A tem lados de 3, 4, 5. O triângulo B tem lados de 6, 8, 10. Cada par está na razão de 1:2, portanto, pelo critério de semelhança LLL, são semelhantes.
- Dois triângulos compartilham um ângulo de 45° e os lados que formam esse ângulo estão na razão de 2:3 em ambos. Pelo critério de semelhança LAL, são semelhantes.
Exemplos de Partes Correspondentes
- Os triângulos ABC e DEF são congruentes. Se AB = 12, então DE = 12. Se o ângulo A = 55°, então o ângulo D = 55°.
- Em triângulos semelhantes com um fator de escala de 3, se um lado do triângulo menor é 4 cm, o lado correspondente do maior é 4 × 3 = 12 cm.
- Dois retângulos congruentes têm diagonais, larguras e comprimentos correspondentes — todas as medidas são idênticas.
Exemplos de Fator de Escala
- Um carro modelo é construído em uma escala de 1:24. Se o carro real tem 4,8 metros de comprimento, o modelo tem 4,8 ÷ 24 = 0,2 metros (20 cm).
- Dois triângulos semelhantes têm lados na razão de 2:5. Se o triângulo menor tem área de 12 cm², o maior tem área de 12 × (5/2)² = 12 × 6,25 = 75 cm².
- Um mapa tem uma escala de 1:50.000. Uma distância de 3 cm no mapa representa 3 × 50.000 = 150.000 cm = 1,5 km na realidade.