Movendo Formas: Transformações
As transformações geométricas alteram a posição, o tamanho ou a orientação de uma forma no plano coordenado. Os quatro tipos principais — translações, reflexões, rotações e dilatações — são usados em gráficos de computador, animação, arquitetura e design de padrões. A compreensão das transformações também aprofunda o conhecimento dos alunos sobre simetria e congruência.
Componentes das Transformações
Esta seção aborda os quatro tipos de transformações:
- Translações (Deslizamentos): Movem cada ponto de uma forma a uma distância igual na mesma direção, descritas por um vetor (x + a, y + b).
- Reflexões (Inversões): Invertem uma forma em relação a uma linha de reflexão (como o eixo x, o eixo y ou a linha y = x), criando uma imagem espelhada.
- Rotações (Giros): Giram uma forma em torno de um ponto central fixo por um determinado ângulo. Rotações comuns são 90°, 180° e 270°.
- Dilatações (Redimensionamentos): Ampliam ou reduzem uma forma a partir de um ponto central por um fator de escala. Fator > 1 amplia; fator entre 0 e 1 reduz.
Exemplos de Transformações
Exemplos de Translação
- Transladar o ponto (3, 5) pelo vetor (2, -3): O novo ponto é (3 + 2, 5 - 3) = (5, 2).
- Transladar um triângulo com vértices (1, 1), (4, 1), (2, 4) 3 unidades para a direita e 2 unidades para cima: Os novos vértices são (4, 3), (7, 3), (5, 6).
- Uma peça de xadrez move-se do quadrado (2, 1) para (5, 4), o que corresponde a uma translação de (+3, +3).
Exemplos de Reflexão
- Refletir (4, 3) em relação ao eixo x: A coordenada x permanece a mesma e a coordenada y inverte-se, resultando em (4, -3).
- Refletir (4, 3) em relação ao eixo y: A coordenada y permanece e a coordenada x inverte-se, resultando em (-4, 3).
- Refletir o ponto (2, 5) em relação à linha y = x: Trocar as coordenadas para obter (5, 2).
Exemplos de Rotação
- Rotacionar (3, 2) 90° no sentido anti-horário em torno da origem: Aplicar a regra (x, y) → (-y, x) para obter (-2, 3).
- Rotacionar (5, -1) 180° em torno da origem: Aplicar (x, y) → (-x, -y) para obter (-5, 1).
- Uma pá de um moinho de vento gira 90° no sentido horário. Um ponto em (4, 0) move-se para (0, -4) usando (x, y) → (y, -x).
Exemplos de Dilatação
- Dilatar (2, 3) por um fator de escala de 3 a partir da origem: Multiplicar ambas as coordenadas por 3 para obter (6, 9).
- Dilatar um triângulo com vértices (4, 2), (8, 2), (6, 6) por um fator de escala de 1/2 a partir da origem: Os novos vértices são (2, 1), (4, 1), (3, 3).
- Uma foto tem 10 cm × 15 cm. Ampliá-la por um fator de escala de 1,5 resulta em 15 cm × 22,5 cm.