Pontos no Plano: Geometria Coordenada
A geometria coordenada (também chamada de geometria analítica) utiliza o plano cartesiano (x-y) para descrever a posição, a distância e as relações entre pontos, retas e formas, utilizando fórmulas algébricas. Ao atribuir coordenadas a objetos geométricos, os alunos podem calcular distâncias, encontrar pontos médios, determinar declives e provar propriedades geométricas por meio de cálculos.
Componentes da Geometria Coordenada
Esta seção aborda as fórmulas e os conceitos essenciais:
- Localização de Pontos e Quadrantes: Cada ponto é identificado por um par ordenado (x, y), localizado em um dos quatro quadrantes ou em um dos eixos.
- Fórmula da Distância: A distância entre dois pontos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) é d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²).
- Fórmula do Ponto Médio: O ponto médio de um segmento é ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2).
- Declive: A inclinação de uma reta entre dois pontos é m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁), descrevendo a variação vertical em relação à variação horizontal.
Exemplos de Geometria Coordenada
Exemplos de Localização de Pontos
- O ponto (3, -2) está no Quadrante IV: 3 unidades à direita e 2 unidades abaixo da origem.
- O ponto (-4, 5) está no Quadrante II: 4 unidades à esquerda e 5 unidades acima da origem.
- O ponto (0, 6) está no eixo y, não em nenhum quadrante.
Exemplos da Fórmula da Distância
- Encontre a distância entre (1, 2) e (4, 6): d = √((4-1)² + (6-2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
- Encontre a distância entre (-3, 1) e (5, 1): d = √((5-(-3))² + (1-1)²) = √(64 + 0) = 8 (um segmento horizontal).
- Duas cidades estão nas coordenadas (2, 3) e (10, 9) em um mapa onde cada unidade é 1 milha. Distância = √(64 + 36) = √100 = 10 milhas.
Exemplos da Fórmula do Ponto Médio
- Encontre o ponto médio de (2, 8) e (6, 4): M = ((2+6)/2, (8+4)/2) = (4, 6).
- Encontre o ponto médio de (-3, 5) e (7, -1): M = ((-3+7)/2, (5+(-1))/2) = (2, 2).
- Uma cerca vai de (0, 0) a (12, 8). O poste central fica no ponto médio: (6, 4).
Exemplos de Declive
- Encontre o declive entre (1, 3) e (4, 9): m = (9-3)/(4-1) = 6/3 = 2.
- Encontre o declive entre (2, 7) e (5, 7): m = (7-7)/(5-2) = 0/3 = 0 (uma reta horizontal).
- Encontre o declive entre (-1, 4) e (3, -2): m = (-2-4)/(3-(-1)) = -6/4 = -3/2 (uma reta descendente da esquerda para a direita).