A Regra do Ângulo Reto: Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras estabelece que, em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (o lado mais longo, oposto ao ângulo reto) é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados: a² + b² = c². Esta única fórmula permite calcular distâncias, realizar medições estruturais e resolver problemas de navegação que surgem na construção, engenharia e na geometria do dia a dia.
Componentes do Teorema de Pitágoras
Esta seção aborda as principais aplicações do teorema:
- Encontrando a Hipotenusa: Dados os dois catetos a e b, calcule c = √(a² + b²).
- Encontrando um Cateto: Dada a hipotenusa c e um cateto, calcule o cateto que falta: a = √(c² - b²).
- Triplos Pitagóricos: Conjuntos de três números inteiros que satisfazem a² + b² = c², como 3-4-5, 5-12-13 e 8-15-17.
- Aplicações no Mundo Real: Usando o teorema para encontrar distâncias, verificar ângulos retos e resolver problemas práticos de medição.
Exemplos do Teorema de Pitágoras
Exemplos de Cálculo da Hipotenusa
- Um triângulo retângulo tem catetos de 3 e 4. Usando a² + b² = c²: 9 + 16 = 25, então c = √25 = 5.
- Um triângulo retângulo tem catetos de 6 e 8. Calcule 36 + 64 = 100, então c = √100 = 10.
- Um triângulo retângulo tem catetos de 5 e 12. Calcule 25 + 144 = 169, então c = √169 = 13.
Exemplos de Cálculo de um Cateto
- Um triângulo retângulo tem hipotenusa 10 e um cateto 6. Calcule a = √(100 - 36) = √64 = 8.
- Um triângulo retângulo tem hipotenusa 13 e um cateto 5. Calcule a = √(169 - 25) = √144 = 12.
- Uma escada de 15 pés de comprimento está apoiada em uma parede, com sua base a 9 pés da parede. A altura que ela alcança é √(225 - 81) = √144 = 12 pés.
Exemplos de Triplos Pitagóricos
- O triplo 3-4-5 pode ser ampliado: multiplique por 2 para obter 6-8-10, por 3 para obter 9-12-15 e assim por diante.
- Verifique se 7-24-25 é um triplo: 49 + 576 = 625 e 25² = 625 ✓.
- Verifique se 5-11-12 é um triplo: 25 + 121 = 146, mas 12² = 144, então não — não é um triângulo retângulo.
Exemplos de Aplicações
- Um campo retangular tem 40 metros de largura por 30 metros de comprimento. A distância diagonal através dele é √(1.600 + 900) = √2.500 = 50 metros.
- Uma tela de TV mede 36 polegadas de largura e 27 polegadas de altura. A diagonal é √(1.296 + 729) = √2.025 = 45 polegadas.
- Dois caminhantes partem do mesmo ponto. Um caminha 8 km para o norte e o outro caminha 6 km para o leste. A distância em linha reta entre eles é √(64 + 36) = √100 = 10 km.