从输入到输出：函数
函数是一种规则，它为每个输入指定一个确定的输出——表示为 f(x)，其中 x 是输入，f(x) 是输出。函数是数学中描述一个量如何依赖于另一个量的语言，从简单的关系（如将一个数字加倍）到科学、工程和经济学中的复杂模型。
函数的组成部分
本节涵盖函数的基础概念：
- 函数符号：使用 f(x) 来命名函数，并通过将一个值代入 x 来计算其值。
- 定义域和值域：定义域是所有有效输入值的集合；值域是所有可能输出值的集合。
- 线性函数与非线性函数：线性函数产生直线图（恒定变化率）；非线性函数产生曲线。
- 函数运算：通过加法、减法、乘法、除法和复合运算（f(g(x)）来组合函数。
函数示例
函数符号示例
- 如果 f(x) = 2x + 3，求 f(4)：将 4 代入 x，得到 2(4) + 3 = 11。
- 如果 g(x) = x² - 1，求 g(-3)：将 -3 代入，得到 (-3)² - 1 = 9 - 1 = 8。
- 如果 h(x) = 5x，那么 h(0) = 0，h(1) = 5，h(2) = 10——每个输入产生一个确定的输出。
定义域和值域示例
- 对于 f(x) = x + 4，定义域是所有实数，值域也是所有实数。
- 对于 f(x) = √x，定义域是 x ≥ 0（不能对负数求平方根），值域是 f(x) ≥ 0。
- 对于 f(x) = 1/x，定义域是所有实数，除了 x = 0（除以零是没有定义的）。
线性函数与非线性函数示例
- f(x) = 3x - 2 是线性函数：x 每增加 1，f(x) 就会增加 3。图是一个斜率为 3 的直线。
- f(x) = x² 是非线性函数：随着 x 的增大，变化率也在增大。图是一个开口向上的抛物线。
- 以恒定速度 60 英里/小时行驶的汽车遵循线性函数 d(t) = 60t，而一个在重力作用下下落的球遵循非线性函数。
函数运算示例
- 如果 f(x) = x + 1 且 g(x) = 2x，那么 (f + g)(x) = x + 1 + 2x = 3x + 1。
- 如果 f(x) = x² 且 g(x) = x + 3，那么 f(g(x)) = f(x + 3) = (x + 3)² = x² + 6x + 9。
- 如果 f(x) = 4x 且 g(x) = x/2，那么 f(g(x)) = 4(x/2) = 2x，g(f(x)) = 4x/2 = 2x——这两个函数是互逆函数，因为在进一步简化后，这两个复合函数都返回 x。