多元方程组
方程组是指包含两个或多个具有相同变量的方程的集合，求解方程组意味着找到满足所有方程的数值。当需要同时满足两个条件时，就会出现方程组——例如，比较手机套餐、确定两条路径的交点或平衡化学反应。
方程组的组成部分
本节介绍求解方程组的主要方法：
- 图解法：在同一坐标平面上绘制两个方程的图像；交点即为解。
- 代入法：解出一个方程中的一个变量，然后将该表达式代入另一个方程。
- 消元法：将方程相加或相减（如果需要，先进行乘法运算），以消去一个变量，然后解出另一个变量。
- 解的类型：方程组可能有一个解（相交的直线）、没有解（平行线）或有无数个解（同一条直线）。
方程组的示例
图解法示例
- 解 y = x + 1 和 y = -x + 5：绘制两条直线。它们在 (2, 3) 处相交，因此 x = 2 且 y = 3。
- 解 y = 2x 和 y = x + 3：两条直线相交于 2x = x + 3，得出 x = 3 且 y = 6。交点为 (3, 6)。
- 两个朋友从不同的位置出发，朝着彼此走去。他们的路径可以表示为线性方程，相交于他们相遇的点。
代入法示例
- 解 y = 3x 和 2x + y = 10：将 3x 代入 y：2x + 3x = 10，因此 5x = 10 且 x = 2。然后 y = 3(2) = 6。
- 解 x = y - 4 和 3x + 2y = 17：将 (y - 4) 代入 x：3(y - 4) + 2y = 17，因此 3y - 12 + 2y = 17，5y = 29，y = 29/5。然后 x = 29/5 - 4 = 9/5。
- 解 y = 2x + 1 和 4x - y = 5：代入：4x - (2x + 1) = 5，因此 2x - 1 = 5，2x = 6，x = 3。然后 y = 2(3) + 1 = 7。
消元法示例
- 解 2x + y = 7 和 3x - y = 8：将两个方程相加以消去 y：5x = 15，因此 x = 3。然后 2(3) + y = 7，y = 1。
- 解 x + 2y = 10 和 3x + 2y = 18：从第二个方程中减去第一个方程：2x = 8，因此 x = 4。然后 4 + 2y = 10，2y = 6，y = 3。
- 解 2x + 3y = 12 和 4x - 3y = 6：相加以消去 y：6x = 18，x = 3。然后 2(3) + 3y = 12，3y = 6，y = 2。
解的类型示例
- y = 2x + 1 和 y = 2x - 3 是平行线（斜率相同，截距不同），因此没有解。
- y = 3x + 2 和 6x - 2y = -4 是同一条直线（重新排列第二个方程：y = 3x + 2），因此有无数个解。
- y = x + 4 和 y = -x + 2 的斜率不同，因此它们在精确的一个点相交：(−1, 3)。