幂表达式：多项式
多项式是由具有整数指数的项组成的代数表达式——从简单的二项式（如 x + 3）到复杂的表达式（如 4x³ - 2x² + 7x - 5）。加、减、乘和分解多项式是解决高次方程、建立曲线模型以及为学习微积分打下基础的关键技能。
多项式的组成部分
本节涵盖关键操作和术语：
- 多项式的分类：按项数（单项式、二项式、三项式）和按次数（最高指数）进行分类。
- 多项式的加法和减法：合并同类项，保持指数和变量的匹配。
- 多项式的乘法：使用分配律（对于二项式，使用FOIL方法）将每个项乘以另一个多项式中的每个项。
- 多项式的分解：将乘法运算反向进行，将多项式表示为更简单因子的乘积。
多项式的示例
分类示例
- 5x² 是一个次数为 2 的单项式（一项）。
- 3x + 7 是一个次数为 1 的二项式（两项）。
- 2x³ - x² + 4x - 9 是一个具有四项且次数为 3 的多项式。
加法和减法示例
- 加 (3x² + 2x - 5) + (x² - 4x + 3)：合并同类项，得到 4x² - 2x - 2。
- 减 (5x² + x - 7) - (2x² - 3x + 1)：分配负号并合并：3x² + 4x - 8。
- 加 (4a³ - 2a) + (a³ + 5a - 3)：合并同类项，得到 5a³ + 3a - 3。
乘法示例
- 乘 (x + 3)(x + 5)，使用 FOIL 方法：x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15。
- 乘 (2x - 1)(x + 4)：2x² + 8x - x - 4 = 2x² + 7x - 4。
- 乘 (x + 2)(x² - 3x + 1)：分配每个项：x³ - 3x² + x + 2x² - 6x + 2 = x³ - x² - 5x + 2。
分解示例
- 分解 x² + 5x + 6：找到两个相乘等于 6 且相加等于 5 的数——即 2 和 3，得到 (x + 2)(x + 3)。
- 分解 x² - 9：这是一个平方差，因此可以分解为 (x + 3)(x - 3)。
- 分解 2x² + 7x + 3：找到 2 × 3 = 6 的因数，使其相加等于 7——即 6 和 1。重写为 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3)。