曲线与解：二次方程
二次方程的形式为 ax² + bx + c = 0，其中变量的最高次幂为 2。它们的解（称为根）表示抛物线与 x 轴的交点。二次方程可以用来模拟抛射运动、面积优化、利润计算以及许多其他关系并非简单的线性关系的情况。
二次方程的组成部分
本节介绍求解二次方程的主要方法：
- 因式分解法：将二次方程写成两个二项式的乘积，并使每个因式等于零。
- 二次公式：使用 x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a 来求解任何二次方程。
- 配方法：改写方程，使左侧形成一个完全平方三项式，然后对两边取平方根。
- 判别式：值 b² - 4ac 决定了解的数量和类型——正数表示有两个实根，零表示有一个，负数表示没有（实根）。
二次方程的示例
因式分解法示例
- 求解 x² + 7x + 12 = 0：因式分解为 (x + 3)(x + 4) = 0，因此 x = -3 或 x = -4。
- 求解 x² - 5x = 0：因式分解为 x(x - 5) = 0，因此 x = 0 或 x = 5。
- 求解 2x² - 8x + 6 = 0：两边除以 2，得到 x² - 4x + 3 = 0，因式分解为 (x - 1)(x - 3) = 0，因此 x = 1 或 x = 3。
二次公式示例
- 求解 x² + 2x - 8 = 0：a = 1，b = 2，c = -8。计算 b² - 4ac = 4 + 32 = 36。然后 x = (-2 ± 6) / 2，得到 x = 2 或 x = -4。
- 求解 3x² - x - 2 = 0：a = 3，b = -1，c = -2。计算 b² - 4ac = 1 + 24 = 25。然后 x = (1 ± 5) / 6，得到 x = 1 或 x = -2/3。
- 一个球向上抛出，高度为 h = -16t² + 48t。当 h = 0 时，球落地：-16t² + 48t = 0，因此 t(-16t + 48) = 0，得到 t = 0 或 t = 3 秒。
配方法示例
- 求解 x² + 6x = 7：6 的一半是 3，3² = 9。两边都加 9：x² + 6x + 9 = 16，因此 (x + 3)² = 16，x + 3 = ±4，得到 x = 1 或 x = -7。
- 求解 x² - 4x = 5：-4 的一半是 -2，(-2)² = 4。加 4：x² - 4x + 4 = 9，因此 (x - 2)² = 9，x - 2 = ±3，得到 x = 5 或 x = -1。
- 求解 x² + 8x + 10 = 0：将 10 移到另一边：x² + 8x = -10。加 16：(x + 4)² = 6，因此 x = -4 ± √6。
判别式示例
- 对于 x² + 3x + 5 = 0：b² - 4ac = 9 - 20 = -11（负数），因此没有实数解。
- 对于 x² - 6x + 9 = 0：b² - 4ac = 36 - 36 = 0，因此只有一个重复的根：x = 3。
- 对于 x² + x - 6 = 0：b² - 4ac = 1 + 24 = 25（正数），因此有两个不同的实数根。