将导数应用于实际：导数的应用
导数不仅仅是抽象的计算——它们可以解决实际问题。寻找最大值和最小值、确定函数何时增加或减少、分析曲线的形状以及模拟运动，所有这些都依赖于导数。这些应用出现在物理学、经济学、生物学和工程学中。
导数应用的主要组成部分
本节涵盖了主要的应用程序领域：
- 寻找极值：使用一阶导数来确定临界点（即 f'(x) = 0 或未定义），然后将它们分类为局部最大值、局部最小值或两者都不是。
- 递增和递减区间：当 f'(x) > 0 时，函数递增；当 f'(x) < 0 时，函数递减。
- 优化：根据实际场景建立一个函数，求其导数，令 f'(x) = 0，然后求解以找到最佳值。
- 相关变化率：当两个或多个量随时间变化时，使用隐函数求导和链式法则来确定它们的变化率之间的关系。
导数应用的示例
寻找极值的示例
- 对于 f(x) = x² - 4x + 3，f'(x) = 2x - 4 = 0，得到 x = 2。由于 f''(2) = 2 > 0，因此 x = 2 是一个局部最小值，且 f(2) = -1。
- 对于 f(x) = -x² + 6x，f'(x) = -2x + 6 = 0，得到 x = 3。由于 f''(3) = -2 < 0，因此 x = 3 是一个局部最大值，且 f(3) = 9。
- 对于 f(x) = x³ - 3x，f'(x) = 3x² - 3 = 0，得到 x = ±1。f(-1) = 2 是一个局部最大值，f(1) = -2 是一个局部最小值。
递增和递减的示例
- 对于 f(x) = x² - 2x，f'(x) = 2x - 2。令 f'(x) = 0，得到 x = 1。该函数在 (-∞, 1) 上递减，在 (1, ∞) 上递增。
- 对于 f(x) = x³，f'(x) = 3x²。由于对于所有 x，3x² ≥ 0（并且仅在 x = 0 时等于 0），因此该函数处处递增。
- 对于 f(x) = -x³ + 12x，f'(x) = -3x² + 12 = 0，得到 x = ±2。该函数在 (-2, 2) 上递增，在该区间之外递减。
优化的示例
- 求解周长为 40 厘米的矩形的面积最大值：如果宽度为 x，则长度为 20 - x，面积 A = x(20 - x) = 20x - x²。A'(x) = 20 - 2x = 0，得到 x = 10。最大面积为 100 平方厘米（一个正方形）。
- 一位农民有 200 米的栅栏，用于建造一个靠在谷仓墙边的矩形围栏。三边用栅栏围起来：A = x(200 - 2x)，A'(x) = 200 - 4x = 0，x = 50 米。最大面积为 5000 平方米。
- 求解一个正数及其倒数的最小和：f(x) = x + 1/x，f'(x) = 1 - 1/x² = 0，x = 1。最小值是 2。
相关变化率的示例
- 一个气球的半径以 2 厘米/秒的速度增长。当 r = 5 时，体积的变化速度是多少？V = 4/3 πr³，dV/dt = 4πr² × dr/dt = 4π(25)(2) = 200π ≈ 628.3 立方厘米/秒。
- 一根 10 英尺长的梯子靠在墙上滑落。梯子的底部以 1 英尺/秒的速度向外移动。当梯子的底部离墙 6 英尺时，梯子的顶部滑落的速度是多少：使用 x² + y² = 100，2x(dx/dt) + 2y(dy/dt) = 0，y = 8，因此 dy/dt = -6/8 × 1 = -0.75 英尺/秒。
- 水以 2 立方米/分钟的速度流入一个圆锥体（半径 3 米，高度 6 米）。当 h = 4 时，r = 2，dh/dt = 2/(π × 4) = 1/(2π) ≈ 0.159 米/分钟。