测量世界：积分的应用
积分的应用远不止于求曲线下的面积——它们还可以计算固体的体积、总累积量、平均值以及力所做的功。这些应用使积分成为物理学、工程学、经济学和生物学中不可或缺的工具，用于测量那些持续变化的事物。
积分应用的主要组成部分
本节将介绍主要的应用领域：
- 曲线之间的面积：两条函数 f(x) 和 g(x) 在 a 到 b 之间的面积为 ∫（从 a 到 b）|f(x) - g(x)| dx。
- 旋转体的体积：将一个区域绕轴旋转，可以形成一个固体的体积，可以使用圆盘法来计算：V = π ∫ [f(x)]² dx。
- 函数的平均值：f(x) 在 [a, b] 上的平均值为 (1/(b-a)) × ∫（从 a 到 b）f(x) dx。
- 累积和总变化：将一个速率函数在某个区间内积分，可以得到在该时间内累积的总量。
积分应用的示例
曲线之间面积的示例
- 求 y = x² 和 y = x 在 0 到 1 之间的面积：∫（从 0 到 1）(x - x²) dx = [x²/2 - x³/3]（从 0 到 1）= 1/2 - 1/3 = 1/6。
- 求 y = 4 和 y = x² 在 -2 到 2 之间的面积：∫（从 -2 到 2）(4 - x²) dx = [4x - x³/3]（从 -2 到 2）= (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 32/3 ≈ 10.67。
- 从第 1 个月到第 6 个月，两条收入曲线之间的面积表示在此期间两种产品之间的总收入差异。
旋转体体积的示例
- 将 y = x 从 0 旋转到 3，绕 x 轴旋转：V = π ∫（从 0 到 3）x² dx = π[x³/3]（从 0 到 3）= π(9) = 9π ≈ 28.27 立方单位。
- 将 y = √x 从 0 旋转到 4，绕 x 轴旋转：V = π ∫（从 0 到 4）x dx = π[x²/2]（从 0 到 4）= π(8) = 8π ≈ 25.13 立方单位。
- 通过将 y = x² 从 0 旋转到 2 形成的碗形，其体积为 V = π ∫（从 0 到 2）x⁴ dx = π[x⁵/5]（从 0 到 2）= 32π/5 ≈ 20.11 立方单位。
平均值的示例
- 求 f(x) = x² 在 [0, 3] 上的平均值：平均值 = (1/3) × ∫（从 0 到 3）x² dx = (1/3)(9) = 3。
- 如果 T(t) = 70 + 10sin(t) 在 [0, π] 上，求平均温度：平均值 = (1/π) × ∫（从 0 到 π）(70 + 10sin(t)) dt = (1/π)(70π + 20) = 70 + 20/π ≈ 76.37°。
- 工厂的生产率为 f(t) = 50 + 4t 单位/小时。从 t = 0 到 t = 8 的平均速率为 (1/8) × ∫(50 + 4t) dt = (1/8)(400 + 128) = 66 单位/小时。
累积的示例
- 泄漏速率为 r(t) = 100 - 5t 加仑/小时。从 t = 0 到 t = 10 的总泄漏量为 ∫(100 - 5t) dt = [100t - 5t²/2]（从 0 到 10）= 1,000 - 250 = 750 加仑。
- 收入为 R(t) = 200e^(0.05t) 美元/天。从第 0 天到第 30 天的总收入为 ∫ 200e^(0.05t) dt = 4,000[e^(1.5) - 1] ≈ 12,936 美元。
- 洒水器以 w(t) = 3 + 0.5t 加仑/分钟的速度输送水。10 分钟内的总水量为 ∫(3 + 0.5t) dt = [3t + 0.25t²]（从 0 到 10）= 30 + 25 = 55 加仑。