逼近一个值：极限与连续性
极限描述的是，当输入值越来越接近某个特定数值时，函数逼近的数值。即使函数实际上从未达到该数值，极限也存在。连续性意味着函数在某个点没有断裂、跳跃或空洞。极限和连续性共同构成了导数和积分的理论基础——这是微积分的两大支柱。
极限与连续性的组成部分
本节涵盖关键概念：
- 求极限：使用直接代入、因式分解或有理化等方法，求出当 x 趋近于 a 时函数逼近的数值。
- 单侧极限：从左侧（x → a⁻）和从右侧（x → a⁺）的极限可能不同；双侧极限只有在两者相等时才存在。
- 无穷极限：描述当 x 无限增大时函数的行为，揭示水平渐近线。
- 连续性：如果 f(a) 已定义，当 x 趋近于 a 时的极限存在，并且极限等于 f(a)，则函数在 x = a 处是连续的。
极限与连续性的示例
求极限示例
- 求 lim(x→3) (2x + 1)：直接代入得到 2(3) + 1 = 7。
- 求 lim(x→2) (x² - 4)/(x - 2)：将分子因式分解为 (x-2)(x+2)，约去 (x-2)，得到 lim(x→2) (x+2) = 4。
- 求 lim(x→0) sin(x)/x：这是一个众所周知的极限，等于 1（在微积分证明中经常使用）。
单侧极限示例
- 对于 f(x) = |x|/x，当 x 趋近于 0⁻ 时，左侧极限为 -1，当 x 趋近于 0⁺ 时，右侧极限为 1。由于它们不同，因此不存在双侧极限。
- 对于一个阶梯函数，当 x < 1 时，函数值为 2；当 x ≥ 1 时，函数值为 5。在 x = 1 处，左侧极限为 2，右侧极限为 5。
- 对于 f(x) = √x，当 x 趋近于 0⁻ 时，左侧极限不存在（负数的平方根未定义），但当 x 趋近于 0⁺ 时，右侧极限为 0。
无穷极限示例
- 求 lim(x→∞) 3/x：随着 x 的增大，3/x 趋近于 0。水平渐近线为 y = 0。
- 求 lim(x→∞) (2x + 1)/(x - 3)：分子和分母同时除以 x，得到 (2 + 1/x)/(1 - 3/x)，其结果趋近于 2/1 = 2。
- 求 lim(x→∞) (5x²)/(x² + 4)：分子和分母同时除以 x²，得到 5/(1 + 4/x²)，其结果趋近于 5。
连续性示例
- f(x) = x² 在所有地方都是连续的——你可以不抬笔地画出这条抛物线。
- f(x) = 1/x 在 x = 0 处不连续，因为 f(0) 未定义（除以零）。
- 定义为当 x ≠ 2 时，f(x) = x + 1；当 x = 2 时，f(2) = 5 的函数在 x = 2 处存在不连续点，因为极限（为 3）不等于 f(2) = 5。