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积分是微分的逆运算——它计算一个量从其变化率开始的总累积值。一个函数的积分代表其曲线下的面积，这与行驶距离、总收入、填充的体积以及无数其他累积问题相关。掌握基本的积分规则对于所有高等数学都是至关重要的。
积分的组成部分
本节介绍基本的积分技术：
- 不定积分：反导数 F(x) + C，其中 C 是积分常数。结果是一组函数。
- 积分中的幂规则：xⁿ 的积分是 xⁿ⁺¹/(n+1) + C，适用于所有 n ≠ -1。
- 定积分：从 a 到 b 的积分给出一个特定的数值，代表从 x = a 到 x = b 曲线下的净面积。
- 基本积分性质：一个和的积分是积分的和；常数可以提取出来。
积分示例
不定积分示例
- 计算 ∫ x³ dx：使用幂规则，得到 x⁴/4 + C。
- 计算 ∫ 5x² dx：提取 5，然后 5 × x³/3 + C = 5x³/3 + C。
- 计算 ∫ (4x + 3) dx：逐项积分，得到 2x² + 3x + C。
幂规则示例
- 计算 ∫ x⁵ dx = x⁶/6 + C。
- 计算 ∫ √x dx = ∫ x^(1/2) dx = x^(3/2)/(3/2) + C = 2x^(3/2)/3 + C。
- 计算 ∫ 1/x² dx = ∫ x⁻² dx = x⁻¹/(-1) + C = -1/x + C。
定积分示例
- 计算从 0 到 3 的 ∫ 2x dx：反导数是 x²。计算：3² - 0² = 9。
- 计算从 1 到 4 的 ∫ x² dx：反导数是 x³/3。计算：64/3 - 1/3 = 63/3 = 21。
- 找到从 x = 0 到 x = 5 的 y = 3 曲线下的面积：∫ 3 dx = 3x，从 0 到 5 计算，得到 15（一个宽 5、高 3 的矩形）。
积分性质示例
- 计算 ∫ (x² + 3x - 1) dx = x³/3 + 3x²/2 - x + C。
- 计算 ∫ 7 × x⁴ dx = 7 × x⁵/5 + C = 7x⁵/5 + C。
- 一辆汽车以 v(t) = 3t² 米/秒的速度行驶。从 t = 0 到 t = 4 的总距离是 ∫ 3t² dt = t³，从 0 到 4 计算，得到 64 米。