连接两个重要概念：微积分基本定理
微积分基本定理（FTC）是微分和积分之间的桥梁，它证明了这两个运算是互逆的。第一部分说明，对一个函数进行积分，然后再进行微分，会得到原始函数。第二部分说明，可以通过找到一个原函数来计算定积分。这个定理将面积计算从繁琐的求和运算转变为简单的代数运算。
微积分基本定理的组成部分
本节将介绍该定理的两个部分：
- 微积分基本定理第一部分：如果 F(x) = ∫（从 a 到 x）f(t) dt，那么 F'(x) = f(x)。微分运算可以抵消积分运算。
- 微积分基本定理第二部分：∫（从 a 到 b）f(x) dx = F(b) - F(a)，其中 F 是 f 的任何一个原函数。这提供了一种计算定积分的实用方法。
- 净变化定理：在某个区间内，变化率的积分等于净变化：∫（从 a 到 b）f'(x) dx = f(b) - f(a)。
- 使用微积分基本定理进行计算：逐步找到原函数、代入积分上下限，然后计算差值。
微积分基本定理的示例
微积分基本定理第一部分示例
- 如果 F(x) = ∫（从 0 到 x）t² dt，那么 F'(x) = x²——积分的导数返回原始函数。
- 如果 F(x) = ∫（从 1 到 x）(3t + 5) dt，那么 F'(x) = 3x + 5。
- 如果 F(x) = ∫（从 2 到 x）cos(t) dt，那么 F'(x) = cos(x)。
微积分基本定理第二部分示例
- 计算 ∫（从 1 到 3）2x dx：原函数是 x²。F(3) - F(1) = 9 - 1 = 8。
- 计算 ∫（从 0 到 2）(3x² + 1) dx：原函数是 x³ + x。F(2) - F(0) = (8 + 2) - (0 + 0) = 10。
- 计算 ∫（从 1 到 4）√x dx：原函数是 2x^(3/2)/3。F(4) - F(1) = 2(8)/3 - 2(1)/3 = 16/3 - 2/3 = 14/3 ≈ 4.67。
净变化示例
- 某种人口以 P'(t) = 100 + 2t 人/年的速度增长。从第 0 年到第 5 年的人口增长量为 ∫（从 0 到 5）(100 + 2t) dt = [100t + t²]（从 0 到 5）= 500 + 25 = 525 人。
- 水以 4t 升/分钟的速度流入一个水箱。从 t = 0 到 t = 3 的总水量为 ∫ 4t dt = 2t²，计算结果为 2(9) - 0 = 18 升。
- 汽车的速度为 v(t) = 3t 米/秒。从 t = 2 到 t = 6 的距离为 ∫ 3t dt = 3t²/2，计算结果为 3(36)/2 - 3(4)/2 = 54 - 6 = 48 米。
逐步计算示例
- 计算 ∫（从 -1 到 2）(x² - 1) dx：步骤 1：原函数为 x³/3 - x。步骤 2：F(2) = 8/3 - 2 = 2/3。步骤 3：F(-1) = -1/3 + 1 = 2/3。步骤 4：2/3 - 2/3 = 0。
- 计算 ∫（从 0 到 π）sin(x) dx：原函数为 -cos(x)。计算结果：-cos(π) - (-cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2。
- 计算 ∫（从 1 到 e）1/x dx：原函数为 ln(x)。计算结果：ln(e) - ln(1) = 1 - 0 = 1。