变化率：导数
导数衡量的是函数输出相对于其输入的变化速度——它是任何点的瞬时变化率。导数表示为 f'(x) 或 dy/dx，它是曲线在给定点的切线的斜率。导数用于分析运动、优化系统以及模拟科学、工程和经济学中的变化。
导数的组成部分
本节介绍基本的导数规则和技术：
- 幂规则：对于 f(x) = xⁿ，导数为 f'(x) = nxⁿ⁻¹。
- 求和与常数规则：求和的导数是各个导数的和；常数可以提取出来，单独常数的导数为 0。
- 乘积与商规则：乘积规则：(fg)' = f'g + fg'。商规则：(f/g)' = (f'g - fg') / g²。
- 链式规则：对于复合函数，d/dx[f(g(x))] = f'(g(x)) × g'(x)——对外部函数求导，然后乘以内部函数的导数。
导数的示例
幂规则示例
- 求 f(x) = x⁴ 的导数：f'(x) = 4x³。
- 求 f(x) = 3x⁵ 的导数：f'(x) = 15x⁴。
- 求 f(x) = x² + 6x - 2 的导数：f'(x) = 2x + 6。
求和与常数规则示例
- 求 f(x) = 5x³ - 2x + 7 的导数：f'(x) = 15x² - 2（常数 7 消失）。
- 求 f(x) = 4x² + 3x 的导数：f'(x) = 8x + 3。
- 求 f(x) = 10 的导数：f'(x) = 0（常数的变化率为零）。
乘积与商规则示例
- 求 x² × sin(x) 的导数：使用乘积规则，得到 2x × sin(x) + x² × cos(x)。
- 求 (3x + 1)(x² - 4) 的导数：使用乘积规则，得到 3(x² - 4) + (3x + 1)(2x) = 3x² - 12 + 6x² + 2x = 9x² + 2x - 12。
- 求 x/(x + 1) 的导数：使用商规则，得到 ((1)(x + 1) - x(1)) / (x + 1)² = 1/(x + 1)²。
链式规则示例
- 求 (2x + 3)⁵ 的导数：外部函数的导数为 5(2x + 3)⁴，内部函数的导数为 2，因此结果为 10(2x + 3)⁴。
- 求 √(x² + 1) 的导数：将其改写为 (x² + 1)^(1/2)，然后得到 1/2 × (x² + 1)^(-1/2) × 2x = x/√(x² + 1)。
- 求 sin(3x) 的导数：外部函数的导数为 cos(3x)，乘以内部函数的导数 3，得到 3cos(3x)。