Les motifs dans les nombres : la théorie des nombres
La théorie des nombres explore les propriétés et les relations des nombres entiers, notamment les facteurs, les multiples, les nombres premiers et les règles de divisibilité. Ces concepts fondamentaux aident les élèves à reconnaître les motifs en mathématiques, à simplifier les fractions, à trouver des dénominateurs communs et à développer la pensée logique nécessaire pour l’algèbre et au-delà.
Composantes de la théorie des nombres
Cette section détaille les principaux concepts de la théorie des nombres :
- Facteurs et multiples : les facteurs sont les nombres qui divisent un autre nombre de manière égale ; les multiples sont les produits d’un nombre.
- Nombres premiers et composés : les nombres premiers ont exactement deux facteurs (1 et eux-mêmes) ; les nombres composés en ont plus de deux.
- Règles de divisibilité : raccourcis pour déterminer si un nombre est divisible par 2, 3, 5, 9, 10 et d’autres diviseurs courants.
- Plus grand facteur commun et plus petit multiple commun : le plus grand facteur commun est le plus grand facteur partagé ; le plus petit multiple commun est le plus petit multiple partagé.
Exemples de théorie des nombres
Exemples de facteurs et de multiples
- Facteurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12 — tous les nombres qui divisent 12 de manière égale.
- Cinq premiers multiples de 7 : 7, 14, 21, 28, 35 — obtenus en multipliant 7 × 1, 7 × 2, 7 × 3, etc.
- Un enseignant dispose 24 chaises en rangées égales. Les tailles de rangées possibles sont les facteurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ou 24.
Exemples de nombres premiers et composés
- Le nombre 17 est premier car ses seuls facteurs sont 1 et 17.
- Le nombre 18 est composé car il a les facteurs 1, 2, 3, 6, 9 et 18.
- Pour vérifier si 29 est premier, testez la divisibilité par 2, 3 et 5 (les nombres premiers jusqu’à √29 ≈ 5,4). Aucun ne divise de manière égale, donc 29 est premier.
Exemples de règles de divisibilité
- 84 est divisible par 2 (se termine par 4), par 3 (8 + 4 = 12, qui est divisible par 3) et par 4 (84 ÷ 4 = 21).
- 135 est divisible par 5 (se termine par 5) et par 9 (1 + 3 + 5 = 9, qui est divisible par 9).
- Pour vérifier rapidement si 276 est divisible par 3 : additionnez les chiffres 2 + 7 + 6 = 15, et 15 est divisible par 3, donc oui.
Exemples de plus grand facteur commun et de plus petit multiple commun
- Plus grand facteur commun de 12 et 18 : les facteurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12. Les facteurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18. Le plus grand facteur commun est 6.
- Plus petit multiple commun de 4 et 6 : les multiples de 4 sont 4, 8, 12, 16… Les multiples de 6 sont 6, 12, 18… Le plus petit multiple commun est 12.
- Pour additionner 1/8 + 1/6, trouvez le plus petit multiple commun de 8 et 6, qui est 24, puis réécrivez sous la forme 3/24 + 4/24 = 7/24.