Rond et toujours rond : calculs sur les cercles
Les calculs sur les cercles consistent à déterminer la circonférence (la distance autour), l’aire (l’espace à l’intérieur) et les mesures connexes en utilisant la constante π (environ 3,14159). De la découpe de pizzas aux orbites des satellites, les cercles sont omniprésents, ce qui fait de ces formules certaines des plus pratiques en géométrie.
Composantes des calculs sur les cercles
Cette section couvre les formules et les concepts clés :
- Circonférence : la distance autour d’un cercle, calculée comme C = 2πr ou C = πd, où r est le rayon et d est le diamètre.
- Aire : l’espace à l’intérieur d’un cercle, calculée comme A = πr².
- Longueur d’arc et aire d’un secteur : une portion de la circonférence (longueur d’arc = θ/360 × 2πr) et une portion de l’aire du cercle (aire du secteur = θ/360 × πr²), où θ est l’angle central en degrés.
- Diamètre, rayon et relations : le diamètre est le double du rayon (d = 2r), et toutes les mesures du cercle découlent de la connaissance de l’une de ces valeurs.
Exemples de calculs sur les cercles
Exemples de circonférence
- Un cercle a un rayon de 7 cm. C = 2π(7) = 14π ≈ 43,98 cm.
- Un cercle a un diamètre de 20 pouces. C = π(20) = 20π ≈ 62,83 pouces.
- Une piste circulaire a un rayon de 50 mètres. Un tour correspond à C = 2π(50) = 100π ≈ 314,16 mètres.
Exemples d’aire
- Un cercle a un rayon de 5 cm. A = π(5²) = 25π ≈ 78,54 cm².
- Un jardin circulaire a un diamètre de 12 pieds, donc un rayon de 6 pieds. A = π(6²) = 36π ≈ 113,10 pieds carrés.
- Une pizza a un rayon de 9 pouces. L’aire totale est π(9²) = 81π ≈ 254,47 pouces carrés.
Exemples de longueur d’arc et d’aire d’un secteur
- Un cercle avec un rayon de 10 cm a un arc de 90°. Longueur de l’arc = 90/360 × 2π(10) = 1/4 × 20π = 5π ≈ 15,71 cm.
- Une part de pizza est un secteur de 45° d’une pizza avec un rayon de 9 pouces. Aire du secteur = 45/360 × π(81) = 1/8 × 81π ≈ 31,81 pouces carrés.
- Un essuie-glace balaie un arc de 120° d’une longueur de 18 pouces. L’arc qu’il couvre est de 120/360 × 2π(18) = 1/3 × 36π = 12π ≈ 37,70 pouces.
Exemples de relation entre le diamètre et le rayon
- Une roue a une circonférence de 94,25 cm. Résoudre C = πd : d = 94,25 ÷ π ≈ 30 cm, donc le rayon est de 15 cm.
- Un étang circulaire a une aire de 201,06 m². Résoudre A = πr² : r² = 201,06 ÷ π ≈ 64, donc r = 8 m et d = 16 m.
- Un cadran d’horloge a un diamètre de 30 cm. Le rayon est de 15 cm, et la circonférence du cadran est π(30) ≈ 94,25 cm.