Points dans le plan : géométrie analytique
La géométrie analytique utilise le plan de coordonnées (x, y) pour décrire la position, la distance et les relations entre les points, les lignes et les formes, en utilisant des formules algébriques. En attribuant des coordonnées aux objets géométriques, les élèves peuvent calculer les distances, trouver les milieux, déterminer les pentes et prouver les propriétés géométriques par le biais de calculs.
Composantes de la géométrie analytique
Cette section couvre les formules et les concepts essentiels :
- Représentation des points et quadrants : chaque point est identifié par une paire ordonnée (x, y) et placé dans l’un des quatre quadrants ou sur un axe.
- Formule de la distance : la distance entre deux points (x₁, y₁) et (x₂, y₂) est d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²).
- Formule du point milieu : le point milieu d’un segment est ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2).
- Pente : la pente d’une ligne entre deux points est m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁), ce qui décrit le rapport entre le dénivelé et la distance horizontale.
Exemples de géométrie analytique
Exemples de représentation de points
- Le point (3, -2) se trouve dans le quadrant IV : 3 unités vers la droite et 2 unités vers le bas par rapport à l’origine.
- Le point (-4, 5) se trouve dans le quadrant II : 4 unités vers la gauche et 5 unités vers le haut par rapport à l’origine.
- Le point (0, 6) se trouve sur l’axe des y, et non dans un quadrant.
Exemples de formule de la distance
- Déterminer la distance entre (1, 2) et (4, 6) : d = √((4-1)² + (6-2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
- Déterminer la distance entre (-3, 1) et (5, 1) : d = √((5-(-3))² + (1-1)²) = √(64 + 0) = 8 (un segment horizontal).
- Deux villes sont situées aux coordonnées (2, 3) et (10, 9) sur une carte où chaque unité représente 1 mile. Distance = √(64 + 36) = √100 = 10 miles.
Exemples de formule du point milieu
- Déterminer le point milieu de (2, 8) et (6, 4) : M = ((2+6)/2, (8+4)/2) = (4, 6).
- Déterminer le point milieu de (-3, 5) et (7, -1) : M = ((-3+7)/2, (5+(-1))/2) = (2, 2).
- Une clôture s’étend de (0, 0) à (12, 8). Le poteau central est placé au point milieu : (6, 4).
Exemples de pente
- Déterminer la pente entre (1, 3) et (4, 9) : m = (9-3)/(4-1) = 6/3 = 2.
- Déterminer la pente entre (2, 7) et (5, 7) : m = (7-7)/(5-2) = 0/3 = 0 (une ligne horizontale).
- Déterminer la pente entre (-1, 4) et (3, -2) : m = (-2-4)/(3-(-1)) = -6/4 = -3/2 (une ligne descendante de gauche à droite).