Forme identique, taille identique ou différente : congruence et similarité
Les figures congruentes sont identiques en forme et en taille : l’une peut être placée exactement au-dessus de l’autre par le biais de transformations rigides. Les figures similaires ont la même forme, mais peuvent différer en taille, tous les angles correspondants étant égaux et les côtés correspondants étant en proportion. Ces concepts sont à la base des preuves, des dessins à l’échelle et des applications du monde réel, comme la lecture de cartes et la construction de modèles.
Composantes de la congruence et de la similarité
Cette section traite des principes clés :
- Critères de congruence : les triangles sont congruents s’ils satisfont aux critères SSS (côté-côté-côté), SAS (côté-angle-côté), ASA (angle-côté-angle) ou AAS (angle-angle-côté).
- Critères de similarité : les triangles sont similaires s’ils satisfont aux critères AA (angle-angle), SSS (tous les côtés sont proportionnels) ou SAS (deux côtés sont proportionnels et l’angle inclus est égal).
- Parties correspondantes : dans les figures congruentes ou similaires, les côtés et les angles correspondants sont appelés parties correspondantes. Dans les figures congruentes, les parties correspondantes sont égales (CPCTC).
- Facteur d’échelle : le rapport des longueurs des côtés correspondants dans les figures similaires. Si le facteur d’échelle est k, alors les aires sont multipliées par k² et les volumes sont multipliés par k³.
Exemples de congruence et de similarité
Exemples de critères de congruence
- Deux triangles ont des côtés de 5, 7 et 9 cm. Selon le critère SSS, ils sont congruents.
- Le triangle A a des côtés de 6 et 8, avec un angle inclus de 50°. Le triangle B est identique. Selon le critère SAS, ils sont congruents.
- Le triangle P a des angles de 40° et 60°, avec le côté entre eux mesurant 10 cm. Le triangle Q est identique. Selon le critère ASA, ils sont congruents.
Exemples de critères de similarité
- Le triangle X a des angles de 30° et 70°. Le triangle Y a des angles de 30° et 70°. Selon le critère AA, ils sont similaires (le troisième angle doit être de 80° dans les deux).
- Le triangle A a des côtés de 3, 4 et 5. Le triangle B a des côtés de 6, 8 et 10. Chaque paire est dans un rapport de 1:2, donc selon le critère SSS, ils sont similaires.
- Deux triangles partagent un angle de 45°, et les côtés qui forment cet angle sont dans un rapport de 2:3 dans les deux. Selon le critère SAS, ils sont similaires.
Exemples de parties correspondantes
- Les triangles ABC et DEF sont congruents. Si AB = 12, alors DE = 12. Si l’angle A = 55°, alors l’angle D = 55°.
- Dans les triangles similaires avec un facteur d’échelle de 3, si un côté du plus petit triangle est de 4 cm, le côté correspondant du plus grand est de 4 × 3 = 12 cm.
- Deux rectangles congruents ont des diagonales, des largeurs et des longueurs correspondantes : toutes les mesures sont identiques.
Exemples de facteur d’échelle
- Une voiture miniature est construite à l’échelle 1:24. Si la voiture réelle mesure 4,8 m de long, le modèle mesure 4,8 ÷ 24 = 0,2 m (20 cm).
- Deux triangles similaires ont des côtés dans un rapport de 2:5. Si le plus petit triangle a une aire de 12 cm², le plus grand a une aire de 12 × (5/2)² = 12 × 6,25 = 75 cm².
- Une carte a une échelle de 1:50 000. Une distance de 3 cm sur la carte représente 3 × 50 000 = 150 000 cm = 1,5 km dans la réalité.