La règle de l’angle droit : le théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore énonce que, dans tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse (le côté le plus long, opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : a² + b² = c². Cette formule simple permet de résoudre des problèmes de calcul de distances, de mesures structurelles et de navigation que l’on retrouve dans la construction, l’ingénierie et la géométrie du quotidien.
Composantes du théorème de Pythagore
Cette section traite des principales applications du théorème :
- Calcul de l’hypoténuse : étant donnés les deux côtés a et b, calculer c = √(a² + b²).
- Calcul d’un côté : étant donnée l’hypoténuse c et un côté, calculer le côté manquant : a = √(c² - b²).
- Triplets pythagoriciens : ensembles de trois nombres entiers qui satisfont l’équation a² + b² = c², tels que 3-4-5, 5-12-13 et 8-15-17.
- Applications dans le monde réel : utiliser le théorème pour trouver des distances, vérifier des angles droits et résoudre des problèmes de mesure pratiques.
Exemples du théorème de Pythagore
Exemples de calcul de l’hypoténuse
- Un triangle rectangle a des côtés de 3 et 4. En utilisant a² + b² = c² : 9 + 16 = 25, donc c = √25 = 5.
- Un triangle rectangle a des côtés de 6 et 8. Calculer 36 + 64 = 100, donc c = √100 = 10.
- Un triangle rectangle a des côtés de 5 et 12. Calculer 25 + 144 = 169, donc c = √169 = 13.
Exemples de calcul d’un côté
- Un triangle rectangle a une hypoténuse de 10 et un côté de 6. Calculer a = √(100 - 36) = √64 = 8.
- Un triangle rectangle a une hypoténuse de 13 et un côté de 5. Calculer a = √(169 - 25) = √144 = 12.
- Une échelle de 15 pieds de long est appuyée contre un mur, sa base étant à 9 pieds du mur. La hauteur qu’elle atteint est √(225 - 81) = √144 = 12 pieds.
Exemples de triplets pythagoriciens
- Le triplet 3-4-5 peut être mis à l’échelle : multiplier par 2 pour obtenir 6-8-10, par 3 pour obtenir 9-12-15, et ainsi de suite.
- Vérifier si 7-24-25 est un triplet : 49 + 576 = 625 et 25² = 625 ✓.
- Vérifier si 5-11-12 est un triplet : 25 + 121 = 146, mais 12² = 144, donc non, ce n’est pas un triangle rectangle.
Exemples d’applications
- Un champ rectangulaire mesure 40 mètres de long et 30 mètres de large. La distance diagonale est √(1 600 + 900) = √2 500 = 50 mètres.
- Un écran de télévision mesure 36 pouces de large et 27 pouces de haut. La diagonale est √(1 296 + 729) = √2 025 = 45 pouces.
- Deux randonneurs partent du même point. L’un marche 8 km vers le nord et l’autre marche 6 km vers l’est. La distance en ligne droite entre eux est √(64 + 36) = √100 = 10 km.