Déplacer les formes : les transformations
Les transformations géométriques modifient la position, la taille ou l’orientation d’une forme dans le plan de coordonnées. Les quatre types principaux – translations, réflexions, rotations et homothéties – sont utilisés dans les graphiques informatiques, l’animation, l’architecture et la conception de motifs. La compréhension des transformations permet également d’approfondir la connaissance de la symétrie et de la congruence chez les élèves.
Composantes des transformations
Cette section traite des quatre types de transformations :
- Translations (déplacements) : chaque point d’une forme est déplacé de la même distance dans la même direction, ce qui est décrit par un vecteur (x + a, y + b).
- Réflexions (symétries) : une forme est retournée par rapport à une droite de réflexion (par exemple, l’axe des x, l’axe des y ou la droite y = x), ce qui crée une image miroir.
- Rotations (rotations) : une forme est tournée autour d’un point central fixe selon un angle donné. Les rotations courantes sont de 90°, 180° et 270°.
- Homothéties (redimensionnements) : une forme est agrandie ou réduite à partir d’un point central en utilisant un facteur d’échelle. Un facteur supérieur à 1 agrandit ; un facteur compris entre 0 et 1 réduit.
Exemples de transformations
Exemples de translations
- Déplacer le point (3, 5) en utilisant le vecteur (2, -3) : le nouveau point est (3 + 2, 5 - 3) = (5, 2).
- Déplacer un triangle dont les sommets sont (1, 1), (4, 1), (2, 4) de 3 unités vers la droite et de 2 unités vers le haut : les nouveaux sommets sont (4, 3), (7, 3), (5, 6).
- Une pièce d’échecs se déplace de la case (2, 1) à la case (5, 4), ce qui correspond à une translation de (+3, +3).
Exemples de réflexions
- Réfléchir le point (4, 3) par rapport à l’axe des x : la coordonnée x reste la même et la coordonnée y devient négative, ce qui donne (4, -3).
- Réfléchir le point (4, 3) par rapport à l’axe des y : la coordonnée y reste la même et la coordonnée x devient négative, ce qui donne (-4, 3).
- Réfléchir le point (2, 5) par rapport à la droite y = x : inverser les coordonnées pour obtenir (5, 2).
Exemples de rotations
- Faire pivoter le point (3, 2) de 90° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre autour de l’origine : appliquer la règle (x, y) → (-y, x) pour obtenir (-2, 3).
- Faire pivoter le point (5, -1) de 180° autour de l’origine : appliquer (x, y) → (-x, -y) pour obtenir (-5, 1).
- Une pale d’éolienne tourne de 90° dans le sens des aiguilles d’une montre. Un point situé à (4, 0) se déplace vers (0, -4) en utilisant (x, y) → (y, -x).
Exemples d’homothéties
- Appliquer une homothétie au point (2, 3) avec un facteur d’échelle de 3 à partir de l’origine : multiplier les deux coordonnées par 3 pour obtenir (6, 9).
- Appliquer une homothétie à un triangle dont les sommets sont (4, 2), (8, 2), (6, 6) avec un facteur d’échelle de 1/2 à partir de l’origine : les nouveaux sommets sont (2, 1), (4, 1), (3, 3).
- Une photo mesure 4 pouces × 6 pouces. L’agrandir avec un facteur d’échelle de 1,5 donne 6 pouces × 9 pouces.