入力から出力へ：関数
関数とは、各入力に対して正確に1つの出力を割り当てる規則のことです。これは f(x) と表記され、x が入力、f(x) が出力です。関数は、ある量が別の量にどのように依存するかを記述するための数学の言語であり、ある数を2倍にするような単純な関係から、科学、工学、経済学における複雑なモデルまで、さまざまな場面で使用されます。
関数の構成要素
このセクションでは、関数の基本的な概念について説明します。
- 関数表記: f(x) を使用して関数に名前を付け、x に値を代入してその値を評価します。
- 定義域と値域: 定義域は、すべての有効な入力の集合です。値域は、すべての可能な出力の集合です。
- 線形関数と非線形関数: 線形関数は、直線グラフ（一定の変化率）を生成します。非線形関数は、曲線グラフを生成します。
- 関数演算: 加算、減算、乗算、除算、および合成（f(g(x))）を通じて関数を組み合わせます。
関数の例
関数表記の例
- f(x) = 2x + 3 の場合、f(4) を求めます。x に 4 を代入すると、2(4) + 3 = 11 となります。
- g(x) = x² - 1 の場合、g(-3) を求めます。-3 を代入すると、(-3)² - 1 = 9 - 1 = 8 となります。
- h(x) = 5x の場合、h(0) = 0、h(1) = 5、h(2) = 10 となり、各入力に対して正確に1つの出力が得られます。
定義域と値域の例
- f(x) = x + 4 の場合、定義域はすべての実数、値域もすべての実数です。
- f(x) = √x の場合、定義域は x ≥ 0（負の数の平方根は存在しません）、値域は f(x) ≥ 0 です。
- f(x) = 1/x の場合、定義域は x = 0 以外のすべての実数（0 での除算は定義されていません）です。
線形関数と非線形関数の例
- f(x) = 3x - 2 は線形関数です。x が 1 増加すると、f(x) は 3 増加します。グラフは、傾きが 3 の直線です。
- f(x) = x² は非線形関数です。x が増加するにつれて、変化率も増加します。グラフは、上に開いた放物線です。
- 一定の速度 60 mph で移動する車は、線形関数 d(t) = 60t に従い、重力下で落下するボールは、非線形関数に従います。
関数演算の例
- f(x) = x + 1、g(x) = 2x の場合、(f + g)(x) = x + 1 + 2x = 3x + 1 となります。
- f(x) = x²、g(x) = x + 3 の場合、f(g(x)) = f(x + 3) = (x + 3)² = x² + 6x + 9 となります。
- f(x) = 4x、g(x) = x/2 の場合、f(g(x)) = 4(x/2) = 2x、g(f(x)) = 4x/2 = 2x となります。これらの関数は、適切な組み合わせでさらに単純化すると、どちらも x を返すため、互いに逆関数です。