直線的な解法：一次方程式
一次方程式とは、変数の最大の次数が1である方程式であり、グラフにすると直線になります。これを解くとは、両辺が等しくなるように、変数の値を求め、逆演算を使って段階的に変数を分離することです。一次方程式は、時間経過に伴う距離、数量とコストの関係、温度変換など、数多くの現実世界の関係をモデル化します。
一次方程式の構成要素
このセクションでは、一次方程式を解くための主要なテクニックについて説明します。
- 多段階方程式: 複数の逆演算を必要とする方程式で、変数を分離するために演算の順序を逆に実行します。
- 両辺に変数が存在する方程式: 変数の項を片側に、定数をもう一方の側に移動させるために、両辺に加算または減算を行います。
- 分数と小数が含まれる方程式: 両辺を最小公倍数（LCD）で乗算して分数を解消するか、10の累乗で乗算して小数を解消します。
- 傾きと切片の形: 一次方程式を y = mx + b の形で記述します。ここで、m は傾き、b は y 切片です。
一次方程式の例
多段階方程式の例
- 4x - 7 = 13 を解く：両辺に7を加えて 4x = 20 とし、次に4で割って x = 5 とします。
- 3(x + 2) = 21 を解く：展開して 3x + 6 = 21 とし、6を引いて 3x = 15 とし、3で割って x = 5 とします。
- -2x + 9 = 1 を解く：9を引いて -2x = -8 とし、-2で割って x = 4 とします。
両辺に変数が存在する方程式の例
- 5x + 3 = 2x + 18 を解く：両辺から 2x を引いて 3x + 3 = 18 とし、3を引いて 3x = 15 とし、3で割って x = 5 とします。
- 7n - 4 = 3n + 12 を解く：3n を引いて 4n - 4 = 12 とし、4を加えて 4n = 16 とし、4で割って n = 4 とします。
- 2(y + 5) = y + 16 を解く：展開して 2y + 10 = y + 16 とし、y を引いて y + 10 = 16 とし、10 を引いて y = 6 とします。
分数を含む方程式の例
- x/3 + 2 = 5 を解く：2 を引いて x/3 = 3 とし、3 で乗算して x = 9 とします。
- 2x/5 - 1 = 3 を解く：1 を加えて 2x/5 = 4 とし、5 で乗算して 2x = 20 とし、2 で割って x = 10 とします。
- 0.3x + 1.5 = 4.5 を解く：すべてに10を掛けて小数を解消します：3x + 15 = 45、15を引いて 3x = 30 とし、したがって x = 10 とします。
傾きと切片の形の例
- 傾きが2、y切片が-3の直線は、方程式 y = 2x - 3 を持ちます。x = 4 のとき、y = 2(4) - 3 = 5 となります。
- 傾きが-1で、点(0, 5)を通る直線の式を求める：b = 5、m = -1 なので、方程式は y = -x + 5 となります。
- 携帯電話のプランは、毎月25ドルに加え、テキストメッセージ1件あたり0.10ドルかかります。この方程式は y = 0.10x + 25 で、x はテキストメッセージの数、y は総費用です。