曲線と解：二次方程式
二次方程式は、ax² + bx + c = 0 の形で表され、変数の最大の次数は 2 です。その解（根と呼ばれる）は、放物線が x 軸と交わる点を示します。二次方程式は、物体の軌道、面積の最適化、利益の計算など、関係が単純な線形ではない多くの状況をモデル化するために使用されます。
二次方程式の構成要素
このセクションでは、二次方程式を解くための主要な方法について説明します。
- 因数分解法：二次方程式を 2 つの二項式の積として書き、各因数をゼロに設定します。
- 二次方程式の解の公式：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a を使用して、任意の二次方程式の解を求めます。
- 平方完成：方程式を書き換え、左辺が完全な二乗三項式になるようにし、その後両辺の平方根を取ります。
- 判別式：値 b² - 4ac は、解の数と種類を決定します。正の値は 2 つの実数解、ゼロは 1 つの解、負の値は実数解がないことを意味します。
二次方程式の例
因数分解法の例
- x² + 7x + 12 = 0 を解く：(x + 3)(x + 4) = 0 と因数分解されるため、x = -3 または x = -4。
- x² - 5x = 0 を解く：x(x - 5) = 0 と因数分解されるため、x = 0 または x = 5。
- 2x² - 8x + 6 = 0 を解く：2 で割って x² - 4x + 3 = 0 を得、(x - 1)(x - 3) = 0 と因数分解されるため、x = 1 または x = 3。
二次方程式の解の公式の例
- x² + 2x - 8 = 0 を解く：a = 1、b = 2、c = -8。b² - 4ac = 4 + 32 = 36 を計算。次に、x = (-2 ± 6) / 2 より、x = 2 または x = -4。
- 3x² - x - 2 = 0 を解く：a = 3、b = -1、c = -2。b² - 4ac = 1 + 24 = 25 を計算。次に、x = (1 ± 5) / 6 より、x = 1 または x = -2/3。
- ボールを上に投げ、高さ h = -16t² + 48t。h = 0 のとき、ボールは地面に衝突します：-16t² + 48t = 0、したがって t(-16t + 48) = 0 より、t = 0 または t = 3 秒。
平方完成法の例
- x² + 6x = 7 を解く：6 の半分は 3 で、3² = 9。両辺に 9 を加える：x² + 6x + 9 = 16、したがって (x + 3)² = 16、x + 3 = ±4 より、x = 1 または x = -7。
- x² - 4x = 5 を解く：-4 の半分は -2 で、(-2)² = 4。4 を加える：x² - 4x + 4 = 9、したがって (x - 2)² = 9、x - 2 = ±3 より、x = 5 または x = -1。
- x² + 8x + 10 = 0 を解く：10 を移項：x² + 8x = -10。16 を加える：(x + 4)² = 6、したがって x = -4 ± √6。
判別式の例
- x² + 3x + 5 = 0 の場合：b² - 4ac = 9 - 20 = -11（負の値）、したがって実数解はありません。
- x² - 6x + 9 = 0 の場合：b² - 4ac = 36 - 36 = 0、したがって、正確に 1 つの重解があります：x = 3。
- x² + x - 6 = 0 の場合：b² - 4ac = 1 + 24 = 25（正の値）、したがって、2 つの異なる実数解があります。