未知数が複数ある場合の連立方程式
連立方程式とは、同じ変数を持つ2つ以上の式をまとめたもので、その解とは、すべての式を同時に満たす値のことです。連立方程式は、2つの条件を同時に満たす必要がある場合に現れます。例えば、携帯電話の料金プランの比較、2つの経路が交わる点の特定、化学反応のバランス調整などです。
連立方程式の構成要素
このセクションでは、連立方程式を解くための主な方法について説明します。
- グラフ法: 2つの式を同じ座標平面上にグラフで表し、交点が解となります。
- 代入法: 1つの式を変数について解き、その結果を別の式に代入します。
- 加減法: 式を足し合わせたり、引き算したり（必要に応じて乗算してから）して、1つの変数を消去し、残りの変数を解きます。
- 解のタイプ: 連立方程式には、1つの解（交わる直線）、解なし（平行な直線）、または無限に多くの解（同じ直線）があります。
連立方程式の例
グラフ法の例
- y = x + 1 と y = -x + 5 を解く：両方の直線をグラフで表します。交点は (2, 3) なので、x = 2、y = 3 です。
- y = 2x と y = x + 3 を解く：直線が交わる点は、2x = x + 3 となる点であり、x = 3、y = 6 となります。交点は (3, 6) です。
- 2人の友人が異なる位置から互いに向かって歩き始めます。それぞれの経路を一次方程式でモデル化すると、2人が出会う点が交点となります。
代入法の例
- y = 3x と 2x + y = 10 を解く：y に 3x を代入します：2x + 3x = 10 なので、5x = 10、x = 2 となります。次に、y = 3(2) = 6 となります。
- x = y - 4 と 3x + 2y = 17 を解く：x に (y - 4) を代入します：3(y - 4) + 2y = 17 なので、3y - 12 + 2y = 17、5y = 29、y = 29/5 となります。次に、x = 29/5 - 4 = 9/5 となります。
- y = 2x + 1 と 4x - y = 5 を解く：代入します：4x - (2x + 1) = 5 なので、2x - 1 = 5、2x = 6、x = 3 となります。次に、y = 2(3) + 1 = 7 となります。
加減法の例
- 2x + y = 7 と 3x - y = 8 を解く：2つの式を足し合わせて y を消去します：5x = 15 なので、x = 3 となります。次に、2(3) + y = 7、y = 1 となります。
- x + 2y = 10 と 3x + 2y = 18 を解く：最初の式を2番目の式から引きます：2x = 8 なので、x = 4 となります。次に、4 + 2y = 10、2y = 6、y = 3 となります。
- 2x + 3y = 12 と 4x - 3y = 6 を解く：2つの式を足し合わせて y を消去します：6x = 18、x = 3 となります。次に、2(3) + 3y = 12、3y = 6、y = 2 となります。
解のタイプの例
- y = 2x + 1 と y = 2x - 3 は平行（傾きは同じで、切片は異なる）なので、解はありません。
- y = 3x + 2 と 6x - 2y = -4 は同じ直線（2番目の式を変形すると：y = 3x + 2）なので、無限に多くの解があります。
- y = x + 4 と y = -x + 2 は傾きが異なるため、正確に1つの点で交わります：(−1, 3)。