指数を含む式：多項式
多項式は、整数を指数とする項から構成される代数式です。単純な二項式（例：x + 3）から、複雑な式（例：4x³ - 2x² + 7x - 5）まであります。多項式の加算、減算、乗算、因数分解は、高次の方程式を解いたり、曲線を作成したり、微積分への基礎を築いたりするために不可欠なスキルです。
多項式の構成要素
このセクションでは、主要な演算と用語について説明します。
- 多項式の分類: 項の数（単項式、二項式、三項式）と次数（最も大きい指数）によって分類します。
- 多項式の加算と減算: 同じ種類の項をまとめ、指数と変数を一致させます。
- 多項式の乗算: 分配法則（二項式の場合はFOIL）を使用して、各項をもう一方の多項式のすべての項に掛けます。
- 多項式の因数分解: 乗算の逆の操作を行い、多項式をより単純な因数の積として表現します。
多項式の例
分類の例
- 5x² は、次数が 2 の単項式（1 つの項）です。
- 3x + 7 は、次数が 1 の二項式（2 つの項）です。
- 2x³ - x² + 4x - 9 は、4 つの項と次数が 3 の多項式です。
加算と減算の例
- (3x² + 2x - 5) + (x² - 4x + 3) を加算します：同じ種類の項をまとめると、4x² - 2x - 2 になります。
- (5x² + x - 7) - (2x² - 3x + 1) を減算します：負の符号を分配し、まとめると、3x² + 4x - 8 になります。
- (4a³ - 2a) + (a³ + 5a - 3) を加算します：同じ種類の項をまとめると、5a³ + 3a - 3 になります。
乗算の例
- (x + 3)(x + 5) を FOIL を使用して乗算します：x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15。
- (2x - 1)(x + 4) を乗算します：2x² + 8x - x - 4 = 2x² + 7x - 4。
- (x + 2)(x² - 3x + 1) を乗算します：各項を分配します：x³ - 3x² + x + 2x² - 6x + 2 = x³ - x² - 5x + 2。
因数分解の例
- x² + 5x + 6 を因数分解します：積が 6 で和が 5 になる 2 つの数を見つけます。それは 2 と 3 なので、(x + 2)(x + 3) になります。
- x² - 9 を因数分解します：これは平方の差なので、(x + 3)(x - 3) と因数分解できます。
- 2x² + 7x + 3 を因数分解します：2 × 3 = 6 の因数で、和が 7 になるものを見つけます。それは 6 と 1 です。次のように書き換えます：2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3)。