微分法を実用化：微分法の応用
微分は、単なる抽象的な計算にとどまらず、現実の問題を解決します。最大値と最小値の特定、関数の増加または減少する区間の決定、曲線の形状の分析、運動のモデル化など、これらはすべて微分によって実現されます。これらの応用は、物理学、経済学、生物学、工学などの分野で見られます。
微分法の応用の構成要素
このセクションでは、主要な応用分野について説明します。
- 極値の特定: 1階微分を使用して、極値（f'(x) = 0 または未定義となる点）を特定し、それらを局所的な最大値、局所的な最小値、またはどちらでもないものとして分類します。
- 増加区間と減少区間: 関数が f'(x) > 0 の場合、増加し、f'(x) < 0 の場合、減少します。
- 最適化: 現実世界のシナリオから関数を設定し、その微分を求め、f'(x) = 0 とし、解を求めて最適な値を見つけます。
- 関連する変化率: 2つ以上の量が時間とともに変化する場合、陰関数微分と連鎖律を使用して、それらの変化率がどのように関連しているかを求めます。
微分法の応用の例
極値の特定例
- f(x) = x² - 4x + 3 の場合、f'(x) = 2x - 4 = 0 とすると、x = 2 となります。f''(2) = 2 > 0 であるため、x = 2 は局所的な最小値であり、f(2) = -1 です。
- f(x) = -x² + 6x の場合、f'(x) = -2x + 6 = 0 とすると、x = 3 となります。f''(3) = -2 < 0 であるため、x = 3 は局所的な最大値であり、f(3) = 9 です。
- f(x) = x³ - 3x の場合、f'(x) = 3x² - 3 = 0 とすると、x = ±1 となります。f(-1) = 2 は局所的な最大値であり、f(1) = -2 は局所的な最小値です。
増加区間と減少区間の例
- f(x) = x² - 2x の場合、f'(x) = 2x - 2 です。f'(x) = 0 とすると、x = 1 となります。この関数は (-∞, 1) で減少し、(1, ∞) で増加します。
- f(x) = x³ の場合、f'(x) = 3x² です。3x² ≥ 0 はすべての x について成立し（x = 0 の場合にのみ 0 になります）、この関数はどこでも増加します。
- f(x) = -x³ + 12x の場合、f'(x) = -3x² + 12 = 0 とすると、x = ±2 となります。この関数は (-2, 2) で増加し、それ以外の区間で減少します。
最適化の例
- 周囲の長さが 40 cm の長方形の面積を最大化します。幅 = x、長さ = 20 - x、面積 A = x(20 - x) = 20x - x² とします。A'(x) = 20 - 2x = 0 とすると、x = 10 となります。最大面積は 100 cm²（正方形）です。
- 農家が、納屋の壁に沿って設置する長方形の囲いを作るために、200 メートルの柵を持っています。3つの側面に柵を設けます。A = x(200 - 2x)、A'(x) = 200 - 4x = 0、x = 50 m とします。最大面積は 5,000 m² です。
- 正の数とその逆数の和の最小値を求めます。f(x) = x + 1/x、f'(x) = 1 - 1/x² = 0、x = 1 とします。最小値は 2 です。
関連する変化率の例
- 風船の半径が 2 cm/秒の速度で増加します。r = 5 のとき、体積はどのくらいの速さで変化しますか？V = 4/3 πr³、dV/dt = 4πr² × dr/dt = 4π(25)(2) = 200π ≈ 628.3 cm³/s です。
- 10フィートの梯子が壁を滑り落ちます。底が 1 フィート/秒の速度で移動します。底が壁から 6 フィート離れているとき、上部はどのくらいの速さで滑り落ちますか？x² + y² = 100 を使用します。2x(dx/dt) + 2y(dy/dt) = 0、y = 8 なので、dy/dt = -6/8 × 1 = -0.75 フィート/秒です。
- 水が円錐（半径 3 m、高さ 6 m）に 2 m³/分の速度で流れ込みます。h = 4 のとき、r = 2、dh/dt = 2/(π × 4) = 1/(2π) ≈ 0.159 m/分です。