ある値への接近：極限と連続性
極限とは、関数がある特定の数値に近づくにつれて、その関数の値がどのような値に近づくかを記述するものです。ただし、関数が実際にその値に到達することは必ずしもありません。連続性とは、関数がある点で、不連続、飛び、または穴がない状態を指します。極限と連続性は、微分と積分の2つの柱である、微積分における理論的な基盤を構成します。
極限と連続性の要素
このセクションでは、主要な概念について説明します。
- 極限の評価: 直接代入、因数分解、または有理化を使用して、x が a に近づくときの関数の値（lim(x→a)）を求めます。
- 片側極限: 左からの極限（x → a⁻）と右からの極限（x → a⁺）は異なる場合があります。両側極限が存在するのは、これらが等しい場合のみです。
- 無限大における極限: x が無限大に近づくときの関数の振る舞いを記述し、水平漸近線を示します。
- 連続性: 関数 f(x) が x = a で連続であるとは、f(a) が定義され、x → a のときの極限が存在し、その極限が f(a) に等しいことを意味します。
極限と連続性の例
極限の評価の例
- lim(x→3) (2x + 1) を求めます：直接代入すると、2(3) + 1 = 7 となります。
- lim(x→2) (x² - 4)/(x - 2) を求めます：分子を (x-2)(x+2) と因数分解し、(x-2) を約分すると、lim(x→2) (x+2) = 4 となります。
- lim(x→0) sin(x)/x を求めます：これはよく知られた極限であり、その値は 1 です（微積分の証明で頻繁に使用されます）。
片側極限の例
- f(x) = |x|/x の場合、x → 0⁻ のときの左側極限は -1 で、x → 0⁺ のときの右側極限は 1 です。これらは異なるため、両側極限は存在しません。
- x < 1 のとき 2、x ≥ 1 のとき 5 となるステップ関数の場合、x = 1 における左側極限は 2 で、右側極限は 5 です。
- f(x) = √x の場合、x → 0⁻ のときの左側極限は存在しません（負の数の平方根は定義されていませんが）、x → 0⁺ のときの右側極限は 0 です。
無限大における極限の例
- lim(x→∞) 3/x を求めます：x が大きくなるにつれて、3/x は 0 に近づきます。水平漸近線は y = 0 です。
- lim(x→∞) (2x + 1)/(x - 3) を求めます：分子と分母を x で割ると、(2 + 1/x)/(1 - 3/x) となり、これは 2/1 = 2 に近づきます。
- lim(x→∞) (5x²)/(x² + 4) を求めます：x² で割ると、5/(1 + 4/x²) となり、これは 5 に近づきます。
連続性の例
- f(x) = x² は、どこでも連続です。つまり、ペンを離さずに放物線を描くことができます。
- f(x) = 1/x は、x = 0 で連続ではありません。なぜなら、f(0) は定義されていないからです（0 での除算）。
- f(x) = x + 1 (x ≠ 2 の場合) および f(2) = 5 と定義される関数は、x = 2 で不連続です。なぜなら、極限（3）が f(2) = 5 と等しくないからです。