世界の測定：積分の応用
積分は、曲線下の面積を求めるだけでなく、立体の体積、総累積量、平均値、および力が及ぼす仕事の量を計算します。これらの応用により、積分は、連続的に変化するものを測定するための物理学、工学、経済学、生物学において不可欠なツールとなっています。
積分の応用の構成要素
このセクションでは、主な応用分野について説明します。
- 曲線間の面積: 2つの関数 f(x) と g(x) の a から b までの間の面積は、∫[a, b] |f(x) - g(x)| dx で求められます。
- 回転体の体積: ある領域を軸の周りに回転させると、その体積は円盤法を用いて V = π ∫ [f(x)]² dx で求めることができます。
- 関数の平均値: [a, b] における f(x) の平均値は、(1/(b-a)) × ∫[a, b] f(x) dx で求められます。
- 累積と総変化: ある区間における速度関数を積分すると、その時間中に累積された総量が得られます。
積分の応用の例
曲線間の面積の例
- y = x² と y = x の 0 から 1 までの間の面積を求めます：∫[0, 1] (x - x²) dx = [x²/2 - x³/3] [0, 1] = 1/2 - 1/3 = 1/6。
- y = 4 と y = x² の -2 から 2 までの間の面積を求めます：∫[-2, 2] (4 - x²) dx = [4x - x³/3] [-2, 2] = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 32/3 ≈ 10.67。
- 1ヶ月から6ヶ月までの2つの収益曲線の間の面積は、その期間における2つの製品間の総収益の差を表します。
回転体の体積の例
- y = x を 0 から 3 まで x 軸の周りに回転させます：V = π ∫[0, 3] x² dx = π[x³/3] [0, 3] = π(9) = 9π ≈ 28.27 立方単位。
- y = √x を 0 から 4 まで x 軸の周りに回転させます：V = π ∫[0, 4] x dx = π[x²/2] [0, 4] = π(8) = 8π ≈ 25.13 立方単位。
- y = x² を 0 から 2 まで回転させて形成されたボウル型の体積は、V = π ∫[0, 2] x⁴ dx = π[x⁵/5] [0, 2] = 32π/5 ≈ 20.11 立方単位です。
平均値の例
- f(x) = x² の [0, 3] における平均値を求めます：平均 = (1/3) × ∫[0, 3] x² dx = (1/3)(9) = 3。
- T(t) = 70 + 10sin(t) の [0, π] における平均温度を求めます：平均 = (1/π) × ∫[0, π] (70 + 10sin(t)) dt = (1/π)(70π + 20) = 70 + 20/π ≈ 76.37°。
- 工場の生産速度は f(t) = 50 + 4t 単位/時間です。t = 0 から t = 8 までの平均速度は、(1/8) × ∫(50 + 4t) dt = (1/8)(400 + 128) = 66 単位/時間です。
累積の例
- r(t) = 100 - 5t ガロン/時間で油が漏れています。t = 0 から t = 10 までの総漏出量は、∫(100 - 5t) dt = [100t - 5t²/2] [0, 10] = 1,000 - 250 = 750 ガロンです。
- R(t) = 200e^(0.05t) ドル/日で収益が得られます。0日から30日までの総収益は、∫ 200e^(0.05t) dt = 4,000[e^(1.5) - 1] ≈ 12,936 ドルです。
- スプリンクラーは w(t) = 3 + 0.5t ガロン/分で水を供給します。10分間の総水量は、∫(3 + 0.5t) dt = [3t + 0.25t²] [0, 10] = 30 + 25 = 55 ガロンです。