2つの重要な概念を結びつける：微積分基本定理
微積分基本定理（FTC）は、微分と積分を結びつけるものであり、これら2つの操作が互いに逆の関係にあることを証明します。第1の部分は、関数を積分し、その後微分すると、元の関数に戻ることを述べています。第2の部分は、定積分を、その関数の不定積分（原始関数）を見つけることによって評価できることを述べています。この定理により、面積の計算は、煩雑な総和から、より簡単な代数演算へと変わります。
微積分基本定理の構成要素
このセクションでは、定理の2つの部分について説明します。
- FTC第1部: F(x) = ∫[aからx] f(t) dt の場合、F'(x) = f(x) となります。微分は積分を打ち消します。
- FTC第2部: ∫[aからb] f(x) dx = F(b) - F(a) となります。ここで、Fはfの任意の不定積分です。これは、定積分を計算するための実用的な方法を提供します。
- 正味変化の定理: ある区間における変化率の積分は、正味の変化を与えます。∫[aからb] f'(x) dx = f(b) - f(a)。
- FTCを用いた評価: 不定積分を見つけ、積分区間の上限と下限を代入し、差を計算する、段階的なプロセス。
微積分基本定理の例
FTC第1部の例
- F(x) = ∫[0からx] t² dt の場合、F'(x) = x² となり、積分の導関数は元の関数に戻ります。
- F(x) = ∫[1からx] (3t + 5) dt の場合、F'(x) = 3x + 5 となります。
- F(x) = ∫[2からx] cos(t) dt の場合、F'(x) = cos(x) となります。
FTC第2部の例
- ∫[1から3] 2x dx を評価します。不定積分は x² です。F(3) - F(1) = 9 - 1 = 8。
- ∫[0から2] (3x² + 1) dx を評価します。不定積分は x³ + x です。F(2) - F(0) = (8 + 2) - (0 + 0) = 10。
- ∫[1から4] √x dx を評価します。不定積分は 2x^(3/2)/3 です。F(4) - F(1) = 2(8)/3 - 2(1)/3 = 16/3 - 2/3 = 14/3 ≈ 4.67。
正味変化の例
- ある集団は、P'(t) = 100 + 2t 人/年 の割合で増加します。0年から5年までの集団の増加は、∫[0から5] (100 + 2t) dt = [100t + t²][0から5] = 500 + 25 = 525 人です。
- 水が、1分あたり4tリットルの割合でタンクに流れ込みます。t = 0 から t = 3 までの総水の量は、∫ 4t dt = 2t² で、2(9) - 0 = 18 リットルとして評価されます。
- 車の速度は v(t) = 3t m/s です。t = 2 から t = 6 までの距離は、∫ 3t dt = 3t²/2 で、3(36)/2 - 3(4)/2 = 54 - 6 = 48 メートルとして評価されます。
段階的な評価の例
- ∫[-1から2] (x² - 1) dx を評価します。ステップ1：不定積分は x³/3 - x です。ステップ2：F(2) = 8/3 - 2 = 2/3。ステップ3：F(-1) = -1/3 + 1 = 2/3。ステップ4：2/3 - 2/3 = 0。
- ∫[0からπ] sin(x) dx を評価します。不定積分は -cos(x) です。評価：-cos(π) - (-cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2。
- ∫[1からe] 1/x dx を評価します。不定積分は ln(x) です。評価：ln(e) - ln(1) = 1 - 0 = 1。