すべてを足し合わせる：積分
積分は、微分と逆の関係にあり、ある量の変化率から、その量の総累積値を求めます。関数の積分は、その関数のグラフの下の面積を表し、移動距離、総収益、充填された体積、そして無数の他の累積問題と関連付けられます。基本的な積分のルールを習得することは、高度な数学を学ぶ上で不可欠です。
積分の構成要素
このセクションでは、基本的な積分のテクニックについて説明します。
- 不定積分: 原始関数 F(x) + C。ここで、C は積分定数です。結果は関数の集合となります。
- 積分のべき乗則: xⁿ の積分は、xⁿ⁺¹/(n+1) + C であり、すべての n ≠ -1 に対して有効です。
- 定積分: a から b までの積分は、x = a と x = b の間のグラフの下の正味の面積を表す特定の数値を与えます。
- 基本的な積分の性質: 合計の積分は、積分の合計になります。定数は外に出すことができます。
積分の例
不定積分の例
- ∫ x³ dx を積分する：べき乗則を使用すると、x⁴/4 + C となります。
- ∫ 5x² dx を積分する：5 を外に出し、5 × x³/3 + C = 5x³/3 + C となります。
- ∫ (4x + 3) dx を積分する：項ごとに積分すると、2x² + 3x + C となります。
べき乗則の例
- ∫ x⁵ dx = x⁶/6 + C を積分する。
- ∫ √x dx = ∫ x^(1/2) dx = x^(3/2)/(3/2) + C = 2x^(3/2)/3 + C を積分する。
- ∫ 1/x² dx = ∫ x⁻² dx = x⁻¹/(-1) + C = -1/x + C を積分する。
定積分の例
- 0 から 3 までの ∫ 2x dx を評価する：原始関数は x² です。評価：3² - 0² = 9。
- 1 から 4 までの ∫ x² dx を評価する：原始関数は x³/3 です。評価：64/3 - 1/3 = 63/3 = 21。
- y = 3、x = 0 から x = 5 までのグラフの下の面積を求める：∫ 3 dx = 3x。0 から 5 まで評価すると、15 になります（幅 5、高さ 3 の長方形）。
積分の性質の例
- ∫ (x² + 3x - 1) dx = x³/3 + 3x²/2 - x + C を積分する。
- ∫ 7 × x⁴ dx = 7 × x⁵/5 + C = 7x⁵/5 + C を積分する。
- ある車が v(t) = 3t² m/s で移動します。t = 0 から t = 4 までの総移動距離は、∫ 3t² dt = t³ で、0 から 4 まで評価すると 64 メートルになります。