変化率：微分
微分とは、ある関数の出力が、その入力に対してどれだけ速く変化するかを測るものです。これは、任意の点における瞬間的な変化率です。f'(x)またはdy/dxと表記され、微分は、ある点で曲線に接する接線の傾きを表します。微分は、運動の分析、システムの最適化、科学、工学、経済における変化のモデル化に使用されます。
微分の構成要素
このセクションでは、基本的な微分の規則と手法について説明します。
- べき乗の法則: f(x) = xⁿの場合、微分はf'(x) = nxⁿ⁻¹となります。
- 和と定数の法則: 和の微分は、各項の微分の和になります。定数は微分から除外され、定数だけの微分は0になります。
- 積と商の法則: 積の法則：（fg)' = f'g + fg'。商の法則：（f/g)' = (f'g - fg') / g²。
- 連鎖の法則: 複合関数の場合、d/dx[f(g(x))] = f'(g(x)) × g'(x)となります。つまり、外側の関数を微分し、内側の関数の微分を掛けます。
微分の例
べき乗の法則の例
- f(x) = x⁴の微分を求めます：f'(x) = 4x³。
- f(x) = 3x⁵の微分を求めます：f'(x) = 15x⁴。
- f(x) = x² + 6x - 2の微分を求めます：f'(x) = 2x + 6。
和と定数の法則の例
- f(x) = 5x³ - 2x + 7の微分を求めます：f'(x) = 15x² - 2（定数7は消えます）。
- f(x) = 4x² + 3xの微分を求めます：f'(x) = 8x + 3。
- f(x) = 10の微分を求めます：f'(x) = 0（定数は変化率がゼロです）。
積と商の法則の例
- x² × sin(x)のd/dxを求めます：積の法則を使用すると、2x × sin(x) + x² × cos(x)となります。
- (3x + 1)(x² - 4)のd/dxを求めます：積の法則により、3(x² - 4) + (3x + 1)(2x) = 3x² - 12 + 6x² + 2x = 9x² + 2x - 12となります。
- x/(x + 1)のd/dxを求めます：商の法則により、((1)(x + 1) - x(1)) / (x + 1)² = 1/(x + 1)²となります。
連鎖の法則の例
- (2x + 3)⁵のd/dxを求めます：外側の微分は5(2x + 3)⁴、内側の微分は2なので、結果は10(2x + 3)⁴となります。
- √(x² + 1)のd/dxを求めます：(x² + 1)^(1/2)と書き換えてから、1/2 × (x² + 1)^(-1/2) × 2x = x/√(x² + 1)となります。
- sin(3x)のd/dxを求めます：外側の微分はcos(3x)となり、内側の微分3を掛けると、3cos(3x)となります。