둥글고 둥글게: 원 계산
원 계산은 원주(둘레), 면적(내부 공간), 그리고 관련된 측정값을 상수 π(약 3.14159)를 사용하여 구하는 것을 포함합니다. 피자 자르기부터 인공위성 궤도까지, 원은 어디에나 존재하며, 이러한 공식들은 기하학에서 가장 실용적인 공식 중 하나입니다.
원 계산의 구성 요소
이 섹션에서는 주요 공식과 개념을 다룹니다.
- 원주: 원의 둘레, C = 2πr 또는 C = πd로 계산되며, 여기서 r은 반지름이고 d는 지름입니다.
- 면적: 원 내부의 공간, A = πr²로 계산됩니다.
- 호 길이 및 부채꼴 면적: 원주의 일부(호 길이 = θ/360 × 2πr)와 원 면적의 일부(부채꼴 면적 = θ/360 × πr²), 여기서 θ는 도 단위의 중심각입니다.
- 지름, 반지름 및 관계: 지름은 반지름의 두 배(d = 2r)이며, 모든 원의 측정값은 이 값 중 하나만 알면 구할 수 있습니다.
원 계산 예시
원주 예시
- 반지름이 7cm인 원이 있습니다. C = 2π(7) = 14π ≈ 43.98 cm.
- 지름이 20인치인 원이 있습니다. C = π(20) = 20π ≈ 62.83 인치.
- 반지름이 50m인 원형 트랙이 있습니다. 한 바퀴는 C = 2π(50) = 100π ≈ 314.16 m입니다.
면적 예시
- 반지름이 5cm인 원이 있습니다. A = π(5²) = 25π ≈ 78.54 cm².
- 지름이 12피트인 원형 정원이 있으므로 반지름은 6피트입니다. A = π(6²) = 36π ≈ 113.10 평방피트.
- 반지름이 9인치인 피자가 있습니다. 총 면적은 π(9²) = 81π ≈ 254.47 평방인치입니다.
호 길이 및 부채꼴 면적 예시
- 반지름이 10cm인 원에 90° 호가 있습니다. 호 길이 = 90/360 × 2π(10) = 1/4 × 20π = 5π ≈ 15.71 cm.
- 반지름이 9인치인 피자의 45° 부채꼴 조각이 있습니다. 부채꼴 면적 = 45/360 × π(81) = 1/8 × 81π ≈ 31.81 평방인치.
- 와이퍼가 길이가 18인치인 120° 호를 닦습니다. 와이퍼가 닦는 호의 길이는 120/360 × 2π(18) = 1/3 × 36π = 12π ≈ 37.70 인치입니다.
지름 및 반지름 관계 예시
- 원의 원주가 94.25cm입니다. C = πd를 풀면: d = 94.25 ÷ π ≈ 30 cm이므로 반지름은 15cm입니다.
- 원형 연못의 면적이 201.06 m²입니다. A = πr²를 풀면: r² = 201.06 ÷ π ≈ 64이므로 r = 8 m이고 d = 16 m입니다.
- 시계의 지름이 30cm입니다. 반지름은 15cm이고, 시계 바깥쪽 둘레는 π(30) ≈ 94.25 cm입니다.