직각삼각형의 규칙: 피타고라스 정리
피타고라스 정리는 모든 직각삼각형에서 빗변의 제곱(가장 긴 변, 직각의 대변)은 나머지 두 변의 제곱의 합과 같다는 것을 나타냅니다. 즉, a² + b² = c²입니다. 이 간단한 공식은 건설, 공학, 일상적인 기하학에서 나타나는 거리 계산, 구조 측정, 항해 문제 등을 해결하는 데 사용됩니다.
피타고라스 정리의 구성 요소
이 섹션에서는 정리의 주요 응용 분야를 다룹니다.
- 빗변 찾기: 두 변 a와 b가 주어졌을 때, c = √(a² + b²)을 계산합니다.
- 변 찾기: 빗변 c와 한 변이 주어졌을 때, 나머지 변을 계산합니다: a = √(c² - b²).
- 피타고라스 삼각수: a² + b² = c²를 만족하는 세 개의 정수로 이루어진 집합입니다. 예: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17.
- 실제 응용: 거리를 찾고, 직각을 확인하고, 실제 측정 문제를 해결하는 데 정리를 사용합니다.
피타고라스 정리의 예시
빗변 찾기 예시
- 한 직각삼각형의 두 변이 각각 3과 4입니다. a² + b² = c²를 사용하면: 9 + 16 = 25이므로, c = √25 = 5입니다.
- 한 직각삼각형의 두 변이 각각 6과 8입니다. 36 + 64 = 100을 계산하면, c = √100 = 10입니다.
- 한 직각삼각형의 두 변이 각각 5와 12입니다. 25 + 144 = 169를 계산하면, c = √169 = 13입니다.
변 찾기 예시
- 한 직각삼각형의 빗변이 10이고, 한 변이 6입니다. a = √(100 - 36) = √64 = 8을 계산합니다.
- 한 직각삼각형의 빗변이 13이고, 한 변이 5입니다. a = √(169 - 25) = √144 = 12를 계산합니다.
- 길이가 15피트인 사다리가 벽에 기대어져 있고, 사다리 밑부분이 벽에서 9피트 떨어져 있습니다. 사다리가 닿는 높이는 √(225 - 81) = √144 = 12피트입니다.
피타고라스 삼각수 예시
- 3-4-5 삼각수는 배수로 확장할 수 있습니다. 2를 곱하면 6-8-10, 3을 곱하면 9-12-15 등이 됩니다.
- 7-24-25가 삼각수인지 확인합니다: 49 + 576 = 625이고 25² = 625이므로 맞습니다.
- 5-11-12가 삼각수인지 확인합니다: 25 + 121 = 146이지만 12² = 144이므로, 직각삼각형이 아닙니다.
응용 예시
- 직사각형 모양의 밭의 가로가 40미터이고 세로가 30미터입니다. 대각선 거리는 √(1,600 + 900) = √2,500 = 50미터입니다.
- TV 화면의 가로가 36인치이고 세로가 27인치입니다. 대각선 길이는 √(1,296 + 729) = √2,025 = 45인치입니다.
- 두 명의 등산객이 같은 지점에서 출발합니다. 한 명은 북쪽으로 8km를 걷고, 다른 한 명은 동쪽으로 6km를 걷습니다. 두 사람 사이의 직선 거리는 √(64 + 36) = √100 = 10km입니다.