동일한 모양, 동일하거나 다른 크기: 합동과 닮음
합동인 도형은 모양과 크기가 동일하며, 한 도형을 딱딱한 변환을 통해 다른 도형 위에 정확히 겹쳐 놓을 수 있습니다. 닮은 도형은 모양은 같지만 크기가 다를 수 있으며, 모든 대응하는 각은 같고 대응하는 변은 비례합니다. 이러한 개념은 증명, 축척 도면, 지도 읽기 및 모형 제작과 같은 실제 응용 분야의 기초가 됩니다.
합동과 닮음의 구성 요소
이 섹션에서는 주요 원리를 다룹니다.
- 합동 조건: 삼각형이 SSS(변-변-변), SAS(변-각-변), ASA(각-변-각) 또는 AAS(각-각-변) 조건을 만족하면 합동입니다.
- 닮음 조건: 삼각형이 AA(각-각), SSS 닮음(모든 변이 비례), 또는 SAS 닮음(두 변이 비례하고 포함된 각이 같음) 조건을 만족하면 닮음입니다.
- 대응하는 부분: 합동 또는 닮은 도형에서 짝이 맞는 변과 각을 대응하는 부분이라고 합니다. 합동인 도형에서 대응하는 부분은 같습니다(CPCTC).
- 비율: 닮은 도형에서 대응하는 변의 길이의 비율입니다. 비율이 k이면 면적은 k²에 비례하고 부피는 k³에 비례합니다.
합동과 닮음의 예시
합동 조건 예시
- 두 삼각형의 변의 길이가 각각 5cm, 7cm, 9cm입니다. SSS 조건에 따라 합동입니다.
- 삼각형 A의 변의 길이는 6, 8이고 포함된 각은 50°입니다. 삼각형 B도 같습니다. SAS 조건에 따라 합동입니다.
- 삼각형 P의 각은 40°와 60°이고, 그 각들 사이의 변의 길이는 10cm입니다. 삼각형 Q도 같습니다. ASA 조건에 따라 합동입니다.
닮음 조건 예시
- 삼각형 X의 각은 30°와 70°입니다. 삼각형 Y의 각도 30°와 70°입니다. AA 조건에 따라 닮음입니다(두 삼각형 모두 세 번째 각은 80°여야 합니다).
- 삼각형 A의 변의 길이는 3, 4, 5입니다. 삼각형 B의 변의 길이는 6, 8, 10입니다. 각 쌍은 1:2의 비율이므로, SSS 닮음에 따라 닮음입니다.
- 두 삼각형은 45°의 각을 공유하고, 그 각을 이루는 변의 비율이 두 삼각형 모두 2:3입니다. SAS 닮음에 따라 닮음입니다.
대응하는 부분 예시
- 삼각형 ABC와 DEF가 합동입니다. AB = 12이면 DE = 12입니다. 각 A = 55°이면 각 D = 55°입니다.
- 닮음비가 3인 닮은 삼각형에서 작은 삼각형의 한 변의 길이가 4cm이면, 큰 삼각형의 대응하는 변의 길이는 4 × 3 = 12cm입니다.
- 합동인 두 직사각형은 대각선, 너비 및 길이가 같습니다. 모든 측정값이 동일합니다.
비율 예시
- 모형 자동차는 1:24의 비율로 제작되었습니다. 실제 자동차의 길이가 4.8m이면, 모형의 길이는 4.8 ÷ 24 = 0.2m(20cm)입니다.
- 닮음비가 2:5인 두 닮은 삼각형이 있습니다. 작은 삼각형의 면적이 12cm²이면, 큰 삼각형의 면적은 12 × (5/2)² = 12 × 6.25 = 75cm²입니다.
- 지도 축척은 1:50,000입니다. 지도에서 3cm 거리는 실제 3 × 50,000 = 150,000cm = 1.5km에 해당합니다.