평면 위의 점: 좌표 기하학
좌표 기하학(또는 해석 기하학이라고도 함)은 x-y 좌표 평면을 사용하여 점, 선, 도형의 위치, 거리 및 관계를 대수 공식으로 설명합니다. 기하학적 객체에 좌표를 할당함으로써 학생들은 거리를 계산하고, 중점을 찾고, 기울기를 결정하고, 계산을 통해 기하학적 속성을 증명할 수 있습니다.
좌표 기하학의 구성 요소
이 섹션에서는 필수 공식과 개념을 다룹니다.
- 점의 위치 및 사분면: 모든 점은 순서쌍 (x, y)로 식별되며, 4개의 사분면 중 하나 또는 축 위에 위치합니다.
- 거리 공식: 두 점 (x₁, y₁)과 (x₂, y₂) 사이의 거리는 d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² )입니다.
- 중점 공식: 선분의 중점은 ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)입니다.
- 기울기: 두 점 사이의 선의 기울기는 m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)이며, 이는 수직 변화를 수평 변화로 나눈 값입니다.
좌표 기하학의 예시
점의 위치 예시
- 점 (3, -2)는 제4사분면에 있습니다: 원점에서 오른쪽으로 3단위, 아래쪽으로 2단위 떨어진 곳입니다.
- 점 (-4, 5)는 제2사분면에 있습니다: 원점에서 왼쪽으로 4단위, 위쪽으로 5단위 떨어진 곳입니다.
- 점 (0, 6)은 어느 사분면에도 속하지 않고 y축 위에 있습니다.
거리 공식 예시
- (1, 2)와 (4, 6) 사이의 거리를 구합니다: d = √((4-1)² + (6-2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
- (-3, 1)과 (5, 1) 사이의 거리를 구합니다: d = √((5-(-3))² + (1-1)²) = √(64 + 0) = 8 (수평 선분).
- 지도에서 각 단위는 1마일이며, 두 마을의 좌표가 (2, 3)과 (10, 9)입니다. 거리 = √(64 + 36) = √100 = 10마일.
중점 공식 예시
- (2, 8)과 (6, 4)의 중점을 구합니다: M = ((2+6)/2, (8+4)/2) = (4, 6).
- (-3, 5)와 (7, -1)의 중점을 구합니다: M = ((-3+7)/2, (5+(-1))/2) = (2, 2).
- 울타리가 (0, 0)에서 (12, 8)까지 이어집니다. 중앙 기둥은 중점에 위치합니다: (6, 4).
기울기 예시
- (1, 3)과 (4, 9) 사이의 기울기를 구합니다: m = (9-3)/(4-1) = 6/3 = 2.
- (2, 7)과 (5, 7) 사이의 기울기를 구합니다: m = (7-7)/(5-2) = 0/3 = 0 (수평선).
- (-1, 4)와 (3, -2) 사이의 기울기를 구합니다: m = (-2-4)/(3-(-1)) = -6/4 = -3/2 (왼쪽에서 오른쪽으로 아래로 향하는 선).