形状相同，大小相同或不同：全等与相似
全等图形在形状和大小上完全相同——可以通过刚性变换将一个图形精确地放置在另一个图形之上。相似图形具有相同的形状，但大小可能不同，所有对应角都相等，并且对应边成比例。这些概念是证明、比例绘图以及地图阅读和模型制作等实际应用的基础。
全等与相似的要素
本节涵盖关键原则：
- 全等准则：如果三角形满足 SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）、ASA（角-边-角）或 AAS（角-角-边），则它们是全等的。
- 相似准则：如果三角形满足 AA（角-角）、SSS 相似（所有边成比例）或 SAS 相似（两条边成比例且夹角相等），则它们是相似的。
- 对应部分：在全等或相似的图形中，匹配的边和角称为对应部分。在全等图形中，对应部分相等（CPCTC）。
- 比例因子：相似图形中对应边长的比率。如果比例因子为 k，则面积按 k² 缩放，体积按 k³ 缩放。
全等与相似的示例
全等准则示例
- 两个三角形的边长分别为 5、7、9 厘米和 5、7、9 厘米。根据 SSS，它们是全等的。
- 三角形 A 的边长为 6 和 8，夹角为 50°。三角形 B 也是如此。根据 SAS，它们是全等的。
- 三角形 P 的角为 40° 和 60°，它们之间的边长为 10 厘米。三角形 Q 与之匹配。根据 ASA，它们是全等的。
相似准则示例
- 三角形 X 的角为 30° 和 70°。三角形 Y 的角为 30° 和 70°。根据 AA，它们是相似的（两个三角形的第三个角都必须是 80°）。
- 三角形 A 的边长为 3、4、5。三角形 B 的边长为 6、8、10。每对边长的比率为 1:2，因此根据 SSS 相似，它们是相似的。
- 两个三角形共享一个 45° 的角，并且形成该角的边在两个三角形中都成 2:3 的比例。根据 SAS 相似，它们是相似的。
对应部分示例
- 三角形 ABC 和 DEF 是全等的。如果 AB = 12，则 DE = 12。如果角 A = 55°，则角 D = 55°。
- 在比例因子为 3 的相似三角形中，如果较小三角形的一条边长为 4 厘米，则较大三角形的对应边长为 4 × 3 = 12 厘米。
- 两个全等的矩形具有匹配的对角线、宽度和长度——每个测量值都相同。
比例因子示例
- 一辆模型车的比例为 1:24。如果真实汽车的长度为 4.8 米，则模型车的长度为 4.8 ÷ 24 = 0.2 米（20 厘米）。
- 两个相似三角形的边长比为 2:5。如果较小三角形的面积为 12 平方厘米，则较大三角形的面积为 12 × (5/2)² = 12 × 6.25 = 75 平方厘米。
- 地图的比例为 1:50,000。地图上 3 厘米的距离表示实际距离为 3 × 50,000 = 150,000 厘米 = 1.5 公里。