平面上的点：坐标几何
坐标几何（也称为解析几何）使用 x-y 坐标平面来描述点、线和形状的位置、距离和关系，并使用代数公式。通过为几何对象分配坐标，学生可以通过计算来计算距离、找到中点、确定斜率并证明几何性质。
坐标几何的组成部分
本节涵盖了基本公式和概念：
- 绘制点和象限：每个点都由一个有序对 (x, y) 表示，位于四个象限之一或坐标轴上。
- 距离公式：两点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 之间的距离为 d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)。
- 中点公式：线段的中点为 ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)。
- 斜率：两点之间线的陡峭程度为 m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)，描述了垂直高度与水平距离之比。
坐标几何示例
绘制点示例
- 点 (3, -2) 位于第四象限：从原点向右 3 个单位，向下 2 个单位。
- 点 (-4, 5) 位于第二象限：从原点向左 4 个单位，向上 5 个单位。
- 点 (0, 6) 位于 y 轴上，不位于任何象限。
距离公式示例
- 找到 (1, 2) 和 (4, 6) 之间的距离：d = √((4-1)² + (6-2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5。
- 找到 (-3, 1) 和 (5, 1) 之间的距离：d = √((5-(-3))² + (1-1)²) = √(64 + 0) = 8（一条水平线段）。
- 在地图上，两个城镇的坐标分别为 (2, 3) 和 (10, 9)，每个单位代表 1 英里。距离 = √(64 + 36) = √100 = 10 英里。
中点公式示例
- 找到 (2, 8) 和 (6, 4) 的中点：M = ((2+6)/2, (8+4)/2) = (4, 6)。
- 找到 (-3, 5) 和 (7, -1) 的中点：M = ((-3+7)/2, (5+(-1))/2) = (2, 2)。
- 一道栅栏从 (0, 0) 延伸到 (12, 8)。中心柱位于中点：(6, 4)。
斜率示例
- 找到 (1, 3) 和 (4, 9) 之间的斜率：m = (9-3)/(4-1) = 6/3 = 2。
- 找到 (2, 7) 和 (5, 7) 之间的斜率：m = (7-7)/(5-2) = 0/3 = 0（一条水平线）。
- 找到 (-1, 4) 和 (3, -2) 之间的斜率：m = (-2-4)/(3-(-1)) = -6/4 = -3/2（一条从左到右向下倾斜的线）。