直角规则：勾股定理
勾股定理指出，在任何直角三角形中，斜边（最长边，与直角相对）的平方等于其他两条边的平方之和：a² + b² = c²。这个简单的公式可以用来解决距离计算、结构测量以及在建筑、工程和日常几何学中出现的问题。
勾股定理的组成部分
本节介绍该定理的关键应用：
- 求斜边: 给定两条直角边 a 和 b，计算 c = √(a² + b²)。
- 求直角边: 给定斜边 c 和一条直角边，计算另一条直角边：a = √(c² - b²)。
- 勾股数: 满足 a² + b² = c² 的三个整数的集合，例如 3-4-5、5-12-13 和 8-15-17。
- 实际应用: 使用该定理来计算距离、检查直角，并解决实际的测量问题。
勾股定理的例子
求斜边的例子
- 一个直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4。使用 a² + b² = c²：9 + 16 = 25，因此 c = √25 = 5。
- 一个直角三角形的两条直角边分别为 6 和 8。计算 36 + 64 = 100，因此 c = √100 = 10。
- 一个直角三角形的两条直角边分别为 5 和 12。计算 25 + 144 = 169，因此 c = √169 = 13。
求直角边的例子
- 一个直角三角形的斜边为 10，一条直角边为 6。计算 a = √(100 - 36) = √64 = 8。
- 一个直角三角形的斜边为 13，一条直角边为 5。计算 a = √(169 - 25) = √144 = 12。
- 一架长 15 英尺的梯子靠在一面墙上，底端距离墙 9 英尺。它到达的高度为 √(225 - 81) = √144 = 12 英尺。
勾股数的例子
- 勾股数 3-4-5 可以进行缩放：乘以 2 得到 6-8-10，乘以 3 得到 9-12-15，依此类推。
- 检查 7-24-25 是否为勾股数：49 + 576 = 625 且 25² = 625 ✓。
- 检查 5-11-12 是否为勾股数：25 + 121 = 146，但 12² = 144，因此不是——不是直角三角形。
应用的例子
- 一个矩形田地的长为 40 米，宽为 30 米。对角线的距离为 √(1,600 + 900) = √2,500 = 50 米。
- 一台电视屏幕的宽度为 36 英寸，高度为 27 英寸。对角线为 √(1,296 + 729) = √2,025 = 45 英寸。
- 两名徒步旅行者从同一点出发。一个人向北走 8 公里，另一个人向东走 6 公里。他们之间的直线距离为 √(64 + 36) = √100 = 10 公里。