同じ形、同じまたは異なる大きさ：合同と相似
合同な図形は、形と大きさが完全に同じであり、一方の図形を、いくつかの変換（平行移動、回転、反転など）によって、もう一方の図形に完全に重ね合わせることができます。相似な図形は、形は同じですが、大きさは異なる場合があります。このとき、対応するすべての角は等しく、対応する辺の比は等しくなります。これらの概念は、証明、縮尺図、地図の読み方や模型の作成など、現実世界のさまざまな応用において重要な役割を果たします。
合同と相似の要素
このセクションでは、主要な原則について説明します。
- 合同の条件: 三角形が合同であるためには、以下のいずれかの条件を満たす必要があります。SSS（3辺がそれぞれ等しい）、SAS（2辺とその間の角がそれぞれ等しい）、ASA（2角とその間の辺がそれぞれ等しい）、AAS（2角とそのうち1つではない辺がそれぞれ等しい）。
- 相似の条件: 三角形が相似であるためには、以下のいずれかの条件を満たす必要があります。AA（2角がそれぞれ等しい）、SSS相似（3辺の比がすべて等しい）、SAS相似（2辺とその間の角の比がそれぞれ等しい）。
- 対応する部分: 合同または相似な図形において、対応する辺と角を「対応する部分」と呼びます。合同な図形では、対応する部分は等しくなります（CPCTC：対応する辺と角は合同である）。
- 縮尺: 相似な図形における、対応する辺の長さの比。縮尺がkの場合、面積はk²、体積はk³に比例して変化します。
合同と相似の例
合同の条件の例
- 2つの三角形があり、それぞれの辺の長さが5cm、7cm、9cmです。SSSの条件により、これらは合同です。
- 三角形Aの辺の長さは6と8で、その間の角は50°です。三角形Bも同じです。SASの条件により、これらは合同です。
- 三角形Pの角は40°と60°で、その間の辺の長さは10cmです。三角形Qも同じです。ASAの条件により、これらは合同です。
相似の条件の例
- 三角形Xの角は30°と70°です。三角形Yの角も30°と70°です。AAの条件により、これらは相似です（両方の三角形の3番目の角は80°になります）。
- 三角形Aの辺の長さは3、4、5です。三角形Bの辺の長さは6、8、10です。それぞれの辺の比は1:2なので、SSS相似の条件により、これらは相似です。
- 2つの三角形は、45°の角を共有しており、その角を形成する辺の比はどちらも2:3です。SAS相似の条件により、これらは相似です。
対応する部分の例
- 三角形ABCと三角形DEFは合同です。AB = 12の場合、DE = 12です。角A = 55°の場合、角D = 55°です。
- 縮尺が3の相似な三角形において、小さい三角形の1つの辺の長さが4cmの場合、大きい三角形の対応する辺の長さは4 × 3 = 12cmです。
- 2つの合同な長方形は、対角線、幅、長さがすべて同じであり、すべての寸法が同一です。
縮尺の例
- 模型の自動車は、1:24の縮尺で作られています。実際の自動車の長さが4.8メートルである場合、模型の長さは4.8 ÷ 24 = 0.2メートル（20cm）です。
- 2つの相似な三角形があり、辺の比は2:5です。小さい三角形の面積が12cm²の場合、大きい三角形の面積は12 × (5/2)² = 12 × 6.25 = 75cm²です。
- 地図の縮尺は1:50,000です。地図上の3cmの距離は、実際の距離3 × 50,000 = 150,000cm = 1.5kmに相当します。