平面上の点：座標幾何
座標幾何（解析幾何とも呼ばれる）は、x-y座標平面を使用して、点、線、図形の位置、距離、および関係を代数的な公式で記述します。幾何学的な図形に座標を割り当てることで、生徒は距離を計算したり、中点を求めたり、傾きを決定したり、計算を通じて幾何学的な性質を証明したりすることができます。
座標幾何の構成要素
このセクションでは、重要な公式と概念について説明します。
- 点のプロットと象限: すべての点は、順序対（x、y）で識別され、4つの象限のいずれかまたは軸上に配置されます。
- 距離の公式: 2点（x₁, y₁）と（x₂, y₂）の間の距離は、d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²）です。
- 中点の公式: 線分の中心点は、((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)です。
- 傾き: 2点間の線の傾きは、m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)で、これは縦方向の変化を横方向の変化で表します。
座標幾何の例
点のプロットの例
- 点（3、-2）は、第IV象限にあります。原点から右に3単位、下に2単位です。
- 点（-4、5）は、第II象限にあります。原点から左に4単位、上に5単位です。
- 点（0、6）は、どの象限にもなく、y軸上にあります。
距離の公式の例
- 点（1、2）と（4、6）の間の距離を求めます。d = √((4-1)² + (6-2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5。
- 点（-3、1）と（5、1）の間の距離を求めます。d = √((5-(-3))² + (1-1)²) = √(64 + 0) = 8（水平な線分）。
- 2つの町は、地図上で座標（2、3）と（10、9）にあり、各単位は1マイルです。距離 = √(64 + 36) = √100 = 10マイル。
中点の公式の例
- 点（2、8）と（6、4）の中点を求めます。M = ((2+6)/2, (8+4)/2) = (4, 6)。
- 点（-3、5）と（7、-1）の中点を求めます。M = ((-3+7)/2, (5+(-1))/2) = (2, 2)。
- 柵は（0、0）から（12、8）まで伸びています。中央の支柱は、中点に設置されます：（6、4）。
傾きの例
- 点（1、3）と（4、9）の間の傾きを求めます。m = (9-3)/(4-1) = 6/3 = 2。
- 点（2、7）と（5、7）の間の傾きを求めます。m = (7-7)/(5-2) = 0/3 = 0（水平な線）。
- 点（-1、4）と（3、-2）の間の傾きを求めます。m = (-2-4)/(3-(-1)) = -6/4 = -3/2（左から右に下がる線）。