直角の法則：ピタゴラスの定理
ピタゴラスの定理とは、任意の直角三角形において、斜辺（最も長い辺で、直角の対辺）の2乗は、他の2辺の2乗の和に等しい、つまり a² + b² = c² であるというものです。このシンプルな公式は、建設、工学、および日常生活の幾何学で登場する、距離の計算、構造の測定、およびナビゲーションの問題を解決するために使用できます。
ピタゴラスの定理の構成要素
このセクションでは、定理の主な応用について説明します。
- 斜辺の計算: 2つの辺 a と b が与えられた場合、c = √(a² + b²) を計算します。
- 辺の計算: 斜辺 c と1つの辺が与えられた場合、残りの辺を計算します：a = √(c² - b²)。
- ピタゴラスの三つ組: a² + b² = c² を満たす3つの整数の組。例：3-4-5、5-12-13、8-15-17。
- 実世界の応用: 定理を使用して、距離を求めたり、直角を確認したり、実用的な測定問題を解決したりします。
ピタゴラスの定理の例
斜辺の計算例
- 直角三角形の2つの辺が3と4の場合、a² + b² = c² を使用すると、9 + 16 = 25 となり、c = √25 = 5 となります。
- 直角三角形の2つの辺が6と8の場合、36 + 64 = 100 を計算し、c = √100 = 10 となります。
- 直角三角形の2つの辺が5と12の場合、25 + 144 = 169 を計算し、c = √169 = 13 となります。
辺の計算例
- 直角三角形の斜辺が10で、1つの辺が6の場合、a = √(100 - 36) = √64 = 8 を計算します。
- 直角三角形の斜辺が13で、1つの辺が5の場合、a = √(169 - 25) = √144 = 12 を計算します。
- 長さ15フィートの梯子が壁に寄りかかり、壁から9フィート離れた位置に底があります。梯子が到達する高さは、√(225 - 81) = √144 = 12フィートです。
ピタゴラスの三つ組の例
- 三つ組 3-4-5 は、2倍にして 6-8-10 にしたり、3倍にして 9-12-15 にしたりすることができます。
- 7-24-25 が三つ組であるかどうかを確認します：49 + 576 = 625 であり、25² = 625 なので、これは三つ組です。
- 5-11-12 が三つ組であるかどうかを確認します：25 + 121 = 146 ですが、12² = 144 なので、これは三つ組ではありません。直角三角形ではありません。
応用の例
- 長方形のフィールドは、40メートル x 30メートルです。対角線の距離は、√(1,600 + 900) = √2,500 = 50 メートルです。
- テレビの画面は、幅36インチ、高さ27インチです。対角線は、√(1,296 + 729) = √2,025 = 45インチです。
- 2人のハイカーが同じ地点から出発します。1人は北に8km、もう1人は東に6km進みます。2人の間の直線距離は、√(64 + 36) = √100 = 10km です。